Exercícios Resolvidos de Difusão em Regime Transiente

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Enunciado

Deseja-se difundir o metal A numa barra de metal B a partir de um filme de A depositado em uma face da barra de B, conforme indicado na figura abaixo. Após um tratamento a 1000 ° C por 700   h , a concentração A a uma distância de 3   m m a partir da interface é de 2,5   % . Qual deveria ser a temperatura para que a mesma concentração ( 2,5 % A) fosse atingida em uma posição de 2   m m a partir da interface, supondo o mesmo tempo de tratamento? Considerar as hipóteses e condições de contorno apresentadas abaixo.

Hipóteses e condições de contorno:

  • A concentração inicial de A em B é igual a C o é constante ao longo do corpo B.
  • Nenhum átomo de B atinge a extremidade da barra de metal B oposta à face que recebeu o depósito de metal A, ou seja, a concentração de A nessa extremidade da barra de B é igual a C o durante todo o tratamento térmico de difusão.
  • A concentração de A na interface AB é mantida constante durante todo o tempo de tratamento térmico de difusão e é igual a C S .
  • A difusão de B em A pode ser considerada desprezível nas condições de tratamento térmico.

Equações:

  • Utilizar a seguinte solução para a 2ª Lei de Fick para difusão não estacionária:

C S   -   C x C S   -   C o = e r f x 2 D t

  • A equação para o coeficiente de difusão é a seguinte:

D = D 0 ⋅ e - Δ G d R ⋅ T

Dados:

  • D 0 = 2,7 ⋅ 10 - 5   m 2 / s
  • Δ G d = Q d = 256000   J / m o l
  • R = 8,31   J / m o l

Passo 1

Opa! Fala aí! Essa parece cabeluda, né? Relaxa que nós damos conta juntos!

Olha só, o enunciado nos mostra duas situações diferentes, temos a parte do tratamento 1 e do tratamento 2, vamos anotar nossos dados para cada um deles:

Beleza! Agora usando as condições de contorno que foram dadas, onde C S e C o são constantes, isso quer dizer que todo o lado esquerdo da função é constante:

C S   -   C x C S   -   C o = constante

Sendo assim, temos que:

e r f x 2 D t = constante

E mesmo sofrendo tratamentos diferentes, essa constante nos dois tratamentos serão iguais! Logo podemos dizer que:

e r f x 1 2 D 1 t 1 = e r f x 2 2 D 2 t 2

Passo 2

Se as funções são iguais, então o que está dentro delas também é:

x 1 2 D 1 t 1 = x 2 2 D 2 t 2

Opa! Se os tempos são iguais, então temos que:

x 1 D 1 = x 2 D 2

O coeficiente do tratamento 1, podemos encontrar pois temos todos os dados, certo?

D 1 = 2,7 ⋅ 10 - 5 ⋅ e - 256000 8,31 ⋅ 1273

D 1 = 8,35 ⋅ 10 - 16   m 2 / s

Para o tratamento 2 não podemos fazer isso! Porque não temos a temperatura, que é justamente o que estamos procurando, ok? Mas relaxa! Agora vamos voltar na relação que fizemos ali em cima e vamos conseguir achá-la!

3 8,35 ⋅ 10 - 16 = 2 D 2

Vamos ter então que:

D 2 = 3,711 ⋅ 10 - 16   m 2 / s

Passo 3

E agora pra achar a temperatura? Como vamos fazer?

Opa! Podemos usar a relação do próprio coeficiente de difusão! Se liga só:

D 2 = 2,7 ⋅ 10 - 5 ⋅ e - 256000 8,31 ⋅ T 2

Temos então que:

2,7 ⋅ 10 - 5 ⋅ e - 256000 8,31 ⋅ T 2 = 3,711 ⋅ 10 - 16

Rearranjando vamos ter:

e - 256000 8,31 ⋅ T 2 = 1,3744 ⋅ 10 - 11

E tirando o l n dos dois lados, temos:

- 256000 8,31 ⋅ T 2 = - 25,01

Sendo assim, a temperatura no tratamento 2, será:

T 2 = 1232   K

ou

T 2 = 959 ° C

Prontinho! Demos conta de tudo!

Resposta

T 2 = 959 ° C

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