No plano determine uma equação para o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias aos pontos e seja 12. Esse conjunto de pontos é uma cônica, identifique-a e determine seus parâmetros geométricos.
Passo 1
Pela fórmula de distância entre pontos, aplicando a condição de que a soma da distância aos pontos dados tem que ser 12:
Aplicando o quadrado dos dois lados:
Abrindo o quadrado do lado direito por produto notável:
Passo 2
Opa, lá na equação do passo 1 temos um dos dois lados da igualdade, bora cortar :D
Vamos abrir esses produtos notáveis de agora
Bora dividir tudo por 8?
Passo 3
Ta, agora já temos uma equação bem mais simplificada. Bora jogar quadrado dos dois lados pra tirar aquela raíz
Abrindo de novo os produtos notáveis de :
Agrupando todos os bonitinhos:
Completando quadrados em :
Passo 4
Chegamos na etapa final, ufa! Vamos dividir nossa equação por 180 pra deixar ela igual a 1:
Simplificando:
Aeee! Agora temos finalmente a equação de uma cônica!! Isso aí é uma elipse com centro e seus parâmetros são
Resposta
Elipse com centro , , , .