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Exercícios Resolvidos de Equações de Navier-Stokes

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Exercício 31245678

Enunciado

Um campo de escoamento incompressível, tridimensional, proposto tem a seguinte forma vetorial:

V   = K x i + K y j - 2 K z k

( a )   Determine se esse campo é uma solução válida para a continuidade e para Navier-Stokes. ( b ) Se g   =   - g k , encontre o campo de pressão p ( x ,   y ,   z ) .

Passo 1

Neste exercício temos as seguintes informações do enunciado:

-O campo de velocidade V :

u = K x v = K y w = - 2 K z

-Escoamento incompressível:

ρ = c o n s t a n t e

-Gravidade apenas em z :

g z = - g

Passo 2

Letra a e b)

Aplicaremos o campo primeiro a Equação da Continuidade:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

K + K - 2 K = 0

0 = 0

Portanto, esse campo satisfaz a continuidade

Aplicando a Navier-Stokes:

ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 = ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z ρ g z - ∂ p ∂ z + μ ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

- ∂ p ∂ x = ρ u ∂ u ∂ x - ∂ p ∂ y = ρ v ∂ v ∂ y - ρ g - ∂ p ∂ z = ρ w ∂ w ∂ z

- ∂ p ∂ x = ρ K ² x - ∂ p ∂ y = ρ K ² y - ρ g - ∂ p ∂ z = ρ 4 K ² z

∂ p ∂ x = - ρ K ² x ∂ p ∂ y = - ρ K ² y ∂ p ∂ z = - 4 ρ K ² z - ρ g

Agora separando as varíáveis de cada uma das equações e integrando:

∫ ∂ p = ∫ - ρ K 2 x   ∂ x

p = - ρ K 2 x 2 2 + f ( y , z ) + p a

Na segunda equação:

∫ ∂ p = ∫ - ρ K 2 y   ∂ y

p = - ρ K 2 y 2 2 + f ( x , z ) + p a

Na terceira:

∫ ∂ p = ∫ - 4 ρ K ² z - ρ g ∂ z

p = - 2 ρ K ² z ² - ρ g z + f x , y + p a

Podemos dizer por comparação:

p x , y , z = - ρ K 2 x 2 2 - ρ K 2 y 2 2 - 2 ρ K 2 z 2 - ρ g z + p a

Ou,

p x , y , z = - ρ K 2 2 x 2 + y 2 + 4 z ² - ρ g z + p a

Resposta

Letra a)É válido para ambos

Letra b) p x , y , z = - ρ K 2 2 x 2 + y 2 + 4 z ² - ρ g z + p a

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