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Exercícios Resolvidos de Equações de Navier-Stokes

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Exercício 51234678

Enunciado

Considere o campo de velocidade no plano x y dado por:

V   = x y 2 i - 1 3 y 3 j + x y k

Determine ( a )   o número de dimensões do escoamento, ( b ) se ele é um possível escoamento incompressível e ( c ) a aceleração de uma partícula fluida no ponto ( x ,   y ,   z )   =   ( 1 ,   2 ,   3 ) .

Passo 1

E aí, tudo bem? Tudo vai ficar tranquilo quando analisarmos esse perfil de velocidade! 😊

Separando a velocidade V em u , v e w (suas componentes nos eixos x, y e z respectivamente), temos isso aí:

V = u i + v j + w k

u = x y 2 v = - 1 3 y 3 w = x y

Repara uma coisa em u , v e w : nenhuma delas depende de z! As componentes da velocidade dependem apenas de x e y. Isso quer dizer que o escoamento está acontecendo justamente no plano xy. Ou seja, é um escoamento bidimensional :D

Então, encontramos a resposta da letra a. O número de dimensões do escoamento é 2.

Passo 2

Para saber se esse escoamento bidimensional é incompressível, precisamos verificar se a Equação da Continuidade é satisfeita.

Equação da Continuidade:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

Considerando escoamento permanente ∂ ρ ∂ t = 0 e incompressível ( ρ = c o n s t a n t e ) :

ρ ∂ u ∂ x + ρ ∂ v ∂ y + ρ ∂ w ∂ z = 0

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Lembrando que:

u = x y 2 v = - 1 3 y 3 w = x y

Aplicando o campo de velocidade na equação da continuidade:

y 2 - 3 3 y 2 + 0 = 0

y 2 - y 2 = 0

0 = 0

Logo, o campo de velocidade considerando fluido incompressível satisfaz a continuidade.

Ou seja, é um escoamento incompressível!

Passo 3

Para calcular a aceleração em um ponto, precisamos encontrar a expressão da aceleração e aplicá-la nesse ponto.

Como conseguir essa expressão? A derivada da velocidade é a aceleração, então vamos derivar nosso campo de velocidade

a x = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z a y = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z a z = ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

Lembrando que fizemos a hipótese de escoamento permanente no Passo 2, as derivadas em relação ao tempo serão nulas

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z a z = u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z

Além disso, nenhuma componente da velocidade depende de z, então as derivadas em relação a z também são zero

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y a z = u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y

Tá ficando menor, vamos que vamos! 😊

Agora vamos lembrar do campo de velocidade e finalmente derivar

u = x y 2 v = - 1 3 y 3 w = x y

a x = x y 2 y 2 + - 1 3 y 3 2 x y a y = x y 2 0 + - 1 3 y 3 - y 2 a z = x y 2 y + - 1 3 y 3 x

Organizando

a x = x y 4 + - 2 3 x y 4 a y = 1 3 y 5 a z = x y 3 + - 1 3 x y 3

O enunciado pede a aceleração no ponto (1, 2, 3), logo:

a x = 1 . 2 4 + - 2 3 2 4 a y = 1 3 2 5 a z = 1 . 2 3 + - 1 3 2 3 ⇒ a x = 16 - 32 3 a y = 32 3 a z = 8 - 8 3

a x = 16 3 a y = 32 3 a z = 16 3

Logo, a aceleração no ponto (1, 2, 3) é

a ( 1 ,   2 ,   3 )   = 16 3 i +   32 3 j + 16 3 k

Resposta

(a)2 dimensões

(b)Sim, é um escoamento incompressível

(c) a ( 1 ,   2 ,   3 )   = 16 3 i +   32 3 j + 16 3 k

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