Um campo de velocidade bidimensional é dado por

em unidades arbitrárias. Em , calcule as acelerações e , o componente de velocidade na direção , a direção da velocidade máxima e a direção da aceleração máxima.

Na letra a, o problema nos pede para calcular e , que nada mais são:

Resolvendo então as derivadas, primeiro para :

Para :

Em :

E, mais rápido dessa vez:

Na letra b, o exercício nos pede a representação de em uma direção .

Isso é nada menos que a projeção de em um vetor que representa essa direção.

Podemos definir um vetor unitário.

Substituindo em :

Realizando o produto escalar

Na letra c, temos que calcular em que direção temos velocidade máxima.

Já sabemos da letra anterior que

Percebe que se seguirmos o mesmo princípio da letra b, devemos achar um ângulo que maximize .

Isso lembra máximo e mínimos de cálculo, e é exatamente o que faremos:

Para arbitrário:

Vamos chamar essa expressão de e derivá-la em :

Para encontrarmos um ponto ótimo devemos igualar a zero:

Temos que lembrar que em um cículo trigonométrico dois ângulos pelo menos tem a mesma tangente, e eles estão separados por .

No nosso problema um deles nos dará a máxima velocidade e outro a mínima, que são iguais em módulo:

E,

Logo é máxima em módulo nestes dois ângulos.

Finalmente, repetiremos o processo do Passo 4, mas agora para a aceleração:

Em calculamos

Sendo