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Exercícios Resolvidos de Equações de Navier-Stokes

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Exercício 41235678

Enunciado

Considere um escoamento permanente, bidimensional, incompressível, de um fluido newtoniano no qual o campo de velocidade é conhecido: u =   - 2 x y , v = y 2 - x 2 , w = 0 . ( a ) Esse escoamento satisfaz a conservação da massa? ( b ) Encontre o campo de pressão   p ( x ,   y )   se a pressão no ponto   ( x = 0 ,   y = 0 )   é igual a p a .

Passo 1

Vamos lá,

O enunciado já nos fornece as seguintes informações:

-Escoamento permanente, ou seja, independe do tempo;

-Escoamento incompressível, ou seja, ρ = c o n s t a n t e ;

-Fluido newtoniano, ou seja, μ = c o n s t a n t e ;

-O campo de velocidade:

u = - 2 x y v = y ² - x ² w = 0

-Na letra A devemos aplicar este campo na Equação da Continuidade;

-Na letra B, aplicar nas equações de Navier-Stokes para encontrarmos o campo de pressão.

Passo 2

Letra a)

A Equação da Continuidade:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

Aplicando as informações do enunciado:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Substituindo o campo de velocidade:

- 2 y + 2 y = 0

0 = 0

Satisfaz portanto a Continuidade.

Passo 3

Letra b)

Utilizaremos as seguintes equações de Navier-Stokes:

ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 = ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z

Simplificando com as informações do enunciado e que a velocidade não varia em z :

ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y

Podemos fazer uma suposição de que só exista componente da gravidade no eixo z , ou seja que nosso referencial esteja com o eixo z paralelo a direção da força de gravidade

- ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y

Substituindo u e v nas expressões

- ∂ p ∂ x + μ 0 + 0 = ρ 4 x y ² + 2 x ³ - 2 x y ² - ∂ p ∂ y + μ - 2 + 2 = ρ 4 x ² y + 2 y ³ - 2 x ² y

- ∂ p ∂ x = ρ 2 x y ² + 2 x ³ - ∂ p ∂ y = ρ 2 x ² y + 2 y ³

Devemos então realizer as integrações parciais:

∫ ∂ p = ∫ - ρ 2 x y ² + 2 x ³ ∂ x ∫ ∂ p = ∫ - ρ 2 x ² y + 2 y ³ ∂ y

Resolvendo a primeira:

∫ ∂ p = ∫ - ρ 2 x y ² + 2 x ³ ∂ x

∫ ∂ p = - 2 ρ ∫ x y ² + x ³ ∂ x

p = - 2 ρ x ² y ² 2 + x 4 4 + f y

O mesmo para a segunda:

∫ ∂ p = ∫ - ρ 2 x 2 y + 2 y 3 ∂ y

∫ ∂ p = - 2 ρ ∫ x ² y + y ³ ∂ y

p = - 2 ρ x ² y ² 2 + y 4 4 + f x

Comparando as duas expresses podemos dizer que:

f x = x 4 4 + C

Ou que,

f y = y 4 4 + C

Substituindo f ( y ) ou f ( x ) em uma das expressões, podemos encontrara pressão p :

p = - 2 ρ x ² y ² 2 + x 4 4 + y 4 4 + C

Passo 4

Aplicando a condição de Contorno fornecida p 0,0 = p a :

p ( x , y ) = - 2 ρ x ² y ² 2 + x 4 4 + y 4 4 + C

p 0,0 = p a = - 2 ρ 0 ² 0 ² 2 + 0 4 4 + 0 4 4 + C

p a = - 2 ρ C

C = - p a 2 ρ

Logo a expressão da pressão é a que segue:

p ( x , y ) = - 2 ρ x ² y ² 2 + x 4 4 + y 4 4 - p a 2 ρ

Arrumando um pouco:

p x , y = p a - ρ x ² y ² + x 4 + y 4 2

Resposta

Letra a)

Sim.

Letra b)

p x , y = p a - ρ x ² y ² + x 4 + y 4 2

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