P3 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2014.2

Para cada real, considere a transformação dada por:

Calcule em função de , o determinante de .

Dica: escolha uma base conveniente de e determine .

Para cada real, considere a transformação dada por:

Existe um valor de para qual não seja diagonalizável? Justifique.

Para cada real, considere a transformação dada por:

Para , quais são os autovalores e os autoespaços de ?

Para cada real, considere a transformação dada por:

Para quais valores de a transformação é inversível?

À questão “Em , determine a projeção ortogonal de sobre o plano gerado pelos vetores e ”, Andrezinho respondeu da seguinte maneira:

Defina o que é a projeção ortogonal sobre um subespaço .

Determine a projeção ortogonal de sobre o plano .

Andrezinho respondeu que a projeção ortogonal de é um vetor de ! Explique o erro de Andrezinho e a que vetor corresponde.

Calcule a distância de à sua projeção sobre o plano .

Considere duas transformações lineares e .

Defina o que é um autovetor de associado ao autovalor .

Mostre que se é um autovetor de associado a um autovalor , então é um autovetor de associado ao mesmo autovalor . Explicite onde você usou a hipótese .

Mostre que se é autovalor de , então é autovalor de . (Dica: Use determinantes!)

Verdadeiro ou Falso: Se é autovalor de e de , então é autovalor da transformação . (Dica: Lembre que é definida por .)