Propriedades do Determinante e Teorema de Laplace
Para cada real, considere a transformação dada por:
Para quais valores de a transformação é inversível?
Passo 1
Bom usando esse teorema aqui:
Podemos deduzir algumas coisas.
Sabemos que é inversível se, e somente se, ela é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. Pois bem, e ela for injetiva, pelo :
E como neste caso particular sabemos que a nossa é , possui domínio e CONTRADOMINIO iguais, logo, se ela for injetiva, então sempre será sobrejetiva.
Então, basta provarmos que é injetiva para ela ser inversível.
Passo 2
Para ser injetiva, usaremos o teorema do passo . Quando a é injetiva sabemos que seu núcleo só contém o . E sabemos também que se , ou seja, se o núcleo da transformação é igual a zero, então o núcleo de qualquer representação dessa será zero.
Assim sendo, caso isso aconteça sabemos que é inversível e que, por sua vez, é inversível. Este último passo, podemos justificar por:
E se isso tudo acontecer, o determinante terá que ser:
Passo 3
Assim, vamos construir a .
Logo:
Assim podemos ver que:
Resposta
;