Autovetores e Autovalores
Considere duas transformações lineares e .
Defina o que é um autovetor de associado ao autovalor .
Mostre que se é um autovetor de associado a um autovalor , então é um autovetor de associado ao mesmo autovalor . Explicite onde você usou a hipótese .
Mostre que se é autovalor de , então é autovalor de . (Dica: Use determinantes!)
Verdadeiro ou Falso: Se é autovalor de e de , então é autovalor da transformação . (Dica: Lembre que é definida por .)
Passo 1
Letra
Basta trocar a transformação linear pela e o vetor pelo vetor .
Passo 2
Letra
Antes de tudo vamos separar em tese e hipótese.
Hipótese: é um autovetor deassociado a um autovalor
Tese: é um autovetor de associado ao mesmo autovalor
O que a hipótese quer dizer? Quer dizer que:
E a tese?
Passo 3
Agora que já entendemos, vamos começar pela nossa tese!
Repare na hipótese. No momento não podemos aplicá-la, então temos que fazer alguma coisa para que fique evidente o .
Assim, desenvolvendo o lado esquerdo da tese:
Agora vamos aplicar a hipótese!
Como o lado esquerdo é igual ao lado direito da nossa equação, então está provado!
Mas espere aí! A QUESTÃO AINDA NÃO TERMINOU. Ainda falta provar que , já que ele é um autovetor (Veja a definição). Lembra que o enunciado falou pra aplicarmos a hipótese que ?
Passo 4
Para provarmos que , vamos tentar provar por absurdo (por contradição), supondo que .
Mas como estamos supondo que , então.
Isso irá ocorrer se:
Se , então ou é o vetor nulo . Entretanto por hipótese e é um autovetor . Logo, absurdo!
Agora, se é um autovetor associado ao autovalor , mas não podemos ter dois autovalores diferentes associados ao mesmo autovetor, já que sabemos que também é associado a um autovalor . Assim, temos de novo um absurdo.
Passo 5
Letra
Antes de começar vamos relembrar uma coisa. Lembra que:
??
Calculando o determinante, temos que:
Agora podemos começar!
Passo 6
Se é um autovalor associado a , então , pois existe algum autovetor associado e, portanto, tem “mais coisa” no núcleo. Se o , então sabemos que é equivalente . Ou também, podemos pensar no determinante sendo o produto dos autovalores:
Mas sabemos que algum desses autovalores pode ser zero, então:
Usando o fato de que:
Podemos dizer que:
Assim, se então e, portanto, é um autovalor de .
Passo 7
Letra
Vamos usar a relação do enunciado, usando a dica que ele deu.
Agora vamos ver as informações do enunciado.
Repare que só nos foi dado que e possuem os autovalores indicados, mas não é dito qual autovetor é associado a eles. Então poderíamos ter, por exemplo, autovalor de associado ao autovetor e autovalor de associado ao autovetor . Assim a única coisa que saberíamos seria:
E nada saberíamos sobre e . Entretanto, se assumíssemos que e teríamos:
O que seria exatamente o que o enunciado queria, mas como esse é um caso muito particular, como já foi dito, isso não é sempre verdade.
Logo, a resposta é Falso.
Resposta
Falso.