Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Considere duas transformações lineares T : E ⟶ E e S : E ⟶ E .

a   Defina o que é um autovetor v de S ∘ T associado ao autovalor λ .

b   Mostre que se v é um autovetor de S ∘ T associado a um autovalor λ ≠ 0 , então T ( v ) é um autovetor de T ∘ S associado ao mesmo autovalor λ . Explicite onde você usou a hipótese λ ≠ 0 .

c   Mostre que se 0 é autovalor de S ∘ T , então 0 é autovalor de T ∘ S . (Dica: Use determinantes!)

d   Verdadeiro ou Falso: Se λ é autovalor de S e μ de T , então λ + μ é autovalor da transformação S + T . (Dica: Lembre que S + T : E ⟶ E é definida por S + T u = S u + T ( u ) .)

Passo 1

Letra ( a )

Basta trocar a transformação linear T pela S ∘ T e o vetor u pelo vetor v .

Passo 2

Letra ( b )

Antes de tudo vamos separar em tese e hipótese.

Hipótese: v   é um autovetor de   S ∘ T   associado a um autovalor   λ ≠ 0

Tese: T ( v ) é um autovetor de T ∘ S associado ao mesmo autovalor λ

O que a hipótese quer dizer? Quer dizer que:

S ∘ T v = λ v ,   λ ≠ 0

E a tese?

T ∘ S T v = λ T v ,   λ ≠ 0

Passo 3

Agora que já entendemos, vamos começar pela nossa tese!

T ∘ S T v = λ T v

Repare na hipótese. No momento não podemos aplicá-la, então temos que fazer alguma coisa para que fique evidente o S ∘ T v = S ( T v ) .

Assim, desenvolvendo o lado esquerdo da tese:

= T ( S T v ⏟ H i p ó t e s e ! )

Agora vamos aplicar a hipótese!

= T λ v

= λ T ( v )

Como o lado esquerdo é igual ao lado direito da nossa equação, então está provado!

Mas espere aí! A QUESTÃO AINDA NÃO TERMINOU. Ainda falta provar que T ( v ) ≠ 0 , já que ele é um autovetor (Veja a definição). Lembra que o enunciado falou pra aplicarmos a hipótese que λ ≠ 0 ?

Passo 4

Para provarmos que T v ≠ 0 , vamos tentar provar por absurdo (por contradição), supondo que T v = 0 .

T λ v = λ T ( v )

Mas como estamos supondo que T v = 0 , então.

T λ v = 0

Isso irá ocorrer se:

λ v = 0

o u

λ v ∈ N u c T ⇔ v ∈ N u c ( T )

Se λ v = 0 , então λ = 0 ou v é o vetor nulo v = 0 . Entretanto por hipótese λ ≠ 0 e v é um autovetor v ≠ 0 . Logo, absurdo!

Agora, se v ∈ N u c ( T ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 0 , mas não podemos ter dois autovalores diferentes associados ao mesmo autovetor, já que sabemos que v também é associado a um autovalor λ ≠ 0 . Assim, temos de novo um absurdo.

Passo 5

Letra ( c )

Antes de começar vamos relembrar uma coisa. Lembra que:

S ∘ T β = S β T β ??

Calculando o determinante, temos que:

det ⁡ S ∘ T β = det ⁡ S β T β ⇒

det ⁡ S ∘ T = det ⁡ S β ⋅ det ⁡ T β ⇒

det ⁡ S ∘ T = det ⁡ S ⋅ det ⁡ T

Agora podemos começar!

Passo 6

Se λ = 0 é um autovalor associado a S ∘ T , então N u c S ∘ T ≠ { 0 } , pois existe algum autovetor associado e, portanto, tem “mais coisa” no núcleo. Se o N u c S ∘ T ≠ { 0 } , então sabemos que é equivalente det ⁡ S ∘ T = 0 . Ou também, podemos pensar no determinante sendo o produto dos autovalores:

det ⁡ S ∘ T = λ 1 ⋅ … ⋅ λ n

Mas sabemos que algum desses autovalores pode ser zero, então:

det ⁡ S ∘ T = 0

Usando o fato de que:

det ⁡ S ∘ T = det ⁡ S ⋅ det ⁡ T

Podemos dizer que:

det ⁡ S ∘ T = 0 = det ⁡ S ⋅ det ⁡ T = det ⁡ T ⋅ det ⁡ S = det ⁡ T ∘ S = 0

Assim, se det ⁡ T ∘ S = 0 então N u c T ∘ S ≠ { 0 } e, portanto, λ = 0 é um autovalor de T ∘ S .

Passo 7

Letra ( d )

Vamos usar a relação do enunciado, usando a dica que ele deu.

S + T u = S u + T u

Agora vamos ver as informações do enunciado.

λ é   a u t o v a l o r   d e S e μ d e T

Repare que só nos foi dado que S e T possuem os autovalores indicados, mas não é dito qual autovetor é associado a eles. Então poderíamos ter, por exemplo, λ autovalor de S associado ao autovetor v e μ autovalor de T associado ao autovetor k . Assim a única coisa que saberíamos seria:

S v = λ v

T k = μ k

E nada saberíamos sobre S ( u ) e T ( u ) . Entretanto, se assumíssemos que S u = λ u e T u = μ u teríamos:

S + T u = S u + T u = λ u + μ u = λ + μ u

O que seria exatamente o que o enunciado queria, mas como esse é um caso muito particular, como já foi dito, isso não é sempre verdade.

Logo, a resposta é Falso.

Resposta

( d ) Falso.

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