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Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

PUCRIO, Álgebra Linear I, G3-2017.2, Questão 3bcde

Seja M 2 × 2 o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas. Para A ∈   M 2 × 2 denote A T sua transposta, ou seja, se A = a c b d , então A T = a b c d .

Considere a aplicação T :   M 2 × 2 →   M 2 × 2 dada por T A = A + A T .

(b) Determine uma base de N u c ( T ) (núcleo de T ).

(c) T é bijetora?

(d) Seja ε   = 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 base de M 2 × 2 . Determine T ε .

(e) Determine uma base de I m ( T ) (imagem de T ).

Passo 1

b)

T A = a c b d + a b c d = 2 a c + b b + c 2 d

O núcleo vai ser composto pelas matrizes a c b d   que fazem 2 a c + b b + c 2 d ser a matriz nula!

2 a c + b b + c 2 d = 0 0 0 0

Daí tiramos um sisteminha linear:

2 a = 0 c + b = 0 b + c = 0 2 d = 0

Temos, então a = 0 ,   d = 0 ,   b = - c .

Logo, N u c T = 0 c - c 0 | c ∈ R

β = 0 1 - 1 0

Passo 2

c)

Não, como achamos um espaço com dimensão maior que zero para o núcleo ( dim ⁡ N u c T = 1 ) , a transformação não vai ser injetora, e consequentemente não vai poder ser bijetora!

Passo 3

d) Temos que achar a transformação de cada element dessa base e botar em colunas de uma matriz:

T 1 0 0 0 = 2 a c + b b + c 2 d = 2 0 0 0

T 0 1 0 0 = 2 a c + b b + c 2 d = 0 1 1 0

T 0 0 1 0 = 2 a c + b b + c 2 d = 0 1 1 0

T 0 0 0 1 = 2 a c + b b + c 2 d = 0 0 0 2

Agora vamos por esses resultados como vetores coluna em uma matriz:

T ε = 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2

Passo 4

e)

Já vimos que se A = a c b d , T A = 2 a c + b b + c 2 d , essa aí é a cara da imagem da transformação.

T A = 2 a c + b b + c 2 d = a 2 0 0 0 + b + c 0 1 1 0 + d 0 0 0 2

Logo, I m T = 2 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 2

Resposta

b)   β = 0 1 - 1 0

c) Não

d)   T ε = 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2

e) I m T = 2 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 2

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