PUCRIO, Álgebra Linear I, G3-2017.2, Questão 1a
Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(a.1) Se é uma transformação linear tal que seu polinômio característico é então é diagonalizável.
(a.2) Se uma transformação linear tal que seu polinômio característico é então .
Passo 1
a.1)
Preciso ter uma base de autovetores para o para que seja diagonalizável .Vou reorganizer esse polinômio característico pra gente conseguir visualizar melhor:
Assim, conseguimos ver com mais facilidade quais vão ser as raízes, ou seja, os autovalores.
Como cada autovalor tem o seu autoespaço correspondente, teremos 3 autoespaços diferentes pertencentes ao domínio, o .
Como os autoespaços são não vazios, necessariamente, tem dimensão maior que 1 o que faz com que tenhamos 3 autoespaços de dimensão igual a 1, cada um correspondente a um autovalor!
Os vetores geradores desses três espaços formam um conjunto de 3 vetores , ou seja, uma base do , tornando diagonalizável.
É verdadeira.
Passo 2
a.2)
O polinômio característico aqui é igual ao de a.1), logo os autovalores são os mesmos. Sei também que tenho um autovalor zero e o autoespaço correspondente a esse autovalor vai ser sempre o núcleo.
Além disso, vimos que os 3 autoespaços terão dimensão 1, logo:
Assim, pelo TNI:
Logo, a afirmativa é verdadeira!
Resposta
a.1)Verdadeira
a.2)Verdadeira