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Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

PUCRIO, Álgebra Linear I, G3-2017.2, Questão 1b

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(b.1) Se A   = 1 - 1 3 1 , então A - 1 = 1 4 1 1 - 3 1

(b.2) Se T :   R 2 → R 2     é uma transformação linear tal que sua matriz na base β = 1 ,   3 , - 1 ,   1 é T β = 2 1 0 - 1 ,     então T ( x ,   y )   =   ( - x   + y ,   2   y ) .

Passo 1

b.1)

Antes de fazer um bando de conta para calcular a inversa de A e verificar se é essa, vamos pensar na definição de matriz inversa:

A ∙ A - 1 = I

Vamos multiplicá-las e ver se realmente dá a matriz identidade:

1 - 1 3 1 ∙ 1 4 1 1 - 3 1 = 1 4 + 3 4 1 4 - 1 4 3 4 - 3 4 3 4 + 1 4 = 1 0 0 1

É verdadeira!

Passo 2

b.2)

Gente, repara uma coisa comigo, a matriz de mudança de base da base β para a canônica, ε , é aquela que tem os vetores 1 ,   3 , - 1 ,   1 nas colunas

I d ε ⟵ β = 1 - 1 3 1

Mas na verdade, o enunciado deu pra gente a transformação na base β e pediu T = T ε :

T ε = I d ε ⟵ β ∙ T β ∙ I d β ⟵ ε

Então, só o que falta é I d β ⟵ ε . Que é simplesmente I d ε ⟵ β - 1 .

Agora, repara comigo que essa matriz   I d ε ⟵ β é a própria matriz A do item anterior!! Assim, já temos A - 1 =   I d ε ⟵ β - 1 = I d β ⟵ ε   sem fazer nenhuma continha!

T ε = 1 - 1 3 1 ∙ 2 1 0 - 1 ∙ 1 4 1 1 - 3 1

T ε = 1 4 1 1 - 3 1 ∙ - 1 3 3 - 1

T ε = - 1 1 0 2 .

Resposta

b.1) Verdadeira

b.2)   Verdadeira

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