Seja M 2 × 2 o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas. Para A ∈   M 2 × 2 denote A T sua transposta, ou seja, se A = a c b d , então A T = a b c d .

Considere a aplicação T :   M 2 × 2 →   M 2 × 2 dada por T A = A + A T .

(a) Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

a)

Para ser transformação linear é preciso que:

T A + B = T A + T B

T k A = k A , ∀ k ∈ R

Vamos testar isso aí então, sendo:

A = a c b d   e B = a ' c ' b ' d '

T A + B = A + B + A + B T

T A + T B = A + B + A T + B T

Passo 2

Vamos conferir:

T A + B = a c b d + a ' c ' b ' d ' + a + a ' c + c ' b + b ' c + d ' T

T A + B = a c b d + a ' c ' b ' d ' + a + a ' b + b ' c + c ' c + d '

Só que, a + a ' b + b ' c + c ' c + d ' = a b c d + a ' b ' c ' d ' = A T + B T

Assim, provamos a primeira condição! Vamos para a segunda:

T k A = k a c b d + k a b c d = k 2 a c + b b + c 2 d

k T A = k a c b d + a b c d = k 2 a c + b b + c 2 d

Deu certinho, logo, T   é T L !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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