P4 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2017.1

Sejam os vetores e Considere a transformação , dada por

(a) Calcule

(b) Mostre que é uma transformação linear.

(c) Determine uma base de

(d) Determine uma base de

(e) Determine a matriz canônica de , ou seja, a matriz e . (O mesmo que , ou ainda, )

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(b) Se então não é ortogonalmente diagonalizável seja qual for

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se e então e não são ortogonais seja qual for

Considere o plano de equação e os pontos ) e

(a) Encontre uma equação paramétrica para a reta que passa pelos pontos e .

(b) Calcule a distância entre o plano e o ponto .

(c) Encontre a equação cartesiana do plano que contém os pontos e e é ortogonal ao plano .

Considere a reflexão com relação à reta .

(a) Determine os autovalores de e os respectivos autoespaços.

(b) Determine a matriz canônica de , ou seja, a matriz onde

(c) Determine e

(d) Diagonalize ortogonalmente , ou seja, encontre uma matriz diagonal, uma matriz ortogonal e sua inversa tais que

(e) Calcule e .