Considere o plano de equação e os pontos ) e

(a) Encontre uma equação paramétrica para a reta que passa pelos pontos e .

(b) Calcule a distância entre o plano e o ponto .

(c) Encontre a equação cartesiana do plano que contém os pontos e e é ortogonal ao plano .

b) Para calcular essa distância, preciso conhecer a reta que contém esse ponto e é ortogonal ao plano.

A reta ortogonal à vai ser aquela gerada pelo vetor cujas coordenadas são os coeficientes de e .

Então o vetor diretor vai ser:

Como a reta precisa conter, sua equação paramétrica vai ser:

Precisamos agora, achar o vetor que vai de até a intercessão do plano com essa reta que achamos. Esse segundo ponto vamos achar substituindo na equação :

Substituindo esse valor em, nosso ponto vai ser , e o vetor:

E por fim, vamos achar o módulo dele para medir seu comprimento e portanto essa distância:

c) Bom, se meu plano contém os pontos e , posso dizer que ele contém a reta que achamos na letra a)!

Posso dizer também, que o vetor diretor da reta também vai ser um vetor diretor do plano . Mas, para achar a equação paramétrica do plano, preciso de 2 vetores diretores, então, temos que pensar em como achar o outro!

Se esse plano é ortogonal à , a reta ortogonal a que achamos na letra b) também vai pertencer ao nosso plano novo e consequentemente o vetor que gera ela também!

Mas, para esse outro vetor ser diretor junto com o primeiro, eles precisam ser , vamos analisar:

Conseguimos ver que não são múltiplos um do outro, portanto, são e são vetores diretores de . A equação paramétrica vai ser:

Beleza, mas o enunciado pediu pra gente a equação cartesiana, então vamos achá-la:

E por fim, acho