Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

Considere o plano Π 1 de equação 2 x - y - z = 15 e os pontos P 1 = ( 3 ,   1 ,   2 ) e P 2 = ( 2 ,   0 ,   1 ) .

(a) Encontre uma equação paramétrica para a reta r que passa pelos pontos P 1 e P 2 .

(b) Calcule a distância entre o plano Π 1 e o ponto P 1 .

(c) Encontre a equação cartesiana do plano Π 2 que contém os pontos P 1 e P 2 e é ortogonal ao plano Π 1 .

Passo 1

a)Para achar a equação paramétrica de uma reta, precisamos de um ponto e um vetor diretor.

Vou escolher como meu ponto o P 1 = ( 3,1 , 2 ) e para achar o vetor diretor, vou subtrair um ponto do outro. Isso porque um vetor é uma extremidade menos uma origem. Como escolhi o P 1 como ponto, ele vai ser minha origem:

v = P 2 - P 1 = 2,0 , 1 - 3,1 , 2 = ( - 1 , - 1 , - 1 )

Assim minha equação paramétrica vai ser:

r = { 3,1 , 2 + t ( - 1 , - 1 , - 1 ) | t ∈ R }

Passo 2

b) Para calcular essa distância, preciso conhecer a reta que contém esse ponto e é ortogonal ao plano.

A reta ortogonal à 2 x - y - z = 15 vai ser aquela gerada pelo vetor cujas coordenadas são os coeficientes de x ,   y   e z .

Então o vetor diretor vai ser:

u = ( 2 , - 1 , - 1 )

Como a reta precisa conter   P 1 = ( 3 ,   1 ,   2 ) , sua equação paramétrica vai ser:

3,1 , 2 + s 2 , - 1 , - 1 = ( 3 + 2 s , 1 - s , 2 - s )

Passo 3

Precisamos agora, achar o vetor que vai de P 1 até a intercessão do plano com essa reta que achamos. Esse segundo ponto vamos achar substituindo   ( 3 + 2 s , 1 - s , 2 - s ) na equação 2 x - y - z = 1 5 :

2 ( 3 + 2 s ) - ( 1 - s ) - ( 2 - s ) = 1 5

6 + 4 s - 1 + s - 2 + s = 15

6 s = 12

s = 2

Substituindo esse valor em   ( 3 + 2 s , 1 - s , 2 - s ) , nosso ponto vai ser P = ( 7 , - 1,0 ) , e o vetor:

w = 7 , - 1,0 - 3,1 , 2 = ( 4 , - 2 , - 2 )

E por fim, vamos achar o módulo dele para medir seu comprimento e portanto essa distância:

w = 4 2 + - 2 2 + - 2 2 = 16 + 4 + 4 = 24 = 2 6

Passo 4

c) Bom, se meu plano Π 2 contém os pontos P 1 e P 2 , posso dizer que ele contém a reta r que achamos na letra a)!

Posso dizer também, que o vetor diretor da reta r também vai ser um vetor diretor do plano Π 2 . Mas, para achar a equação paramétrica do plano, preciso de 2 vetores diretores, então, temos que pensar em como achar o outro!

Se esse plano Π 2 é ortogonal à Π 1 , a reta ortogonal a Π 1 que achamos na letra b) também vai pertencer ao nosso plano novo e consequentemente o vetor que gera ela também!

Mas, para esse outro vetor ser diretor junto com o primeiro, eles precisam ser L I , vamos analisar:

v = ( - 1 , - 1 , - 1 )

u = ( 2 , - 1 , - 1 )

Conseguimos ver que não são múltiplos um do outro, portanto, são L I e são vetores diretores de Π 2 . A equação paramétrica vai ser:

3,1 , 2 + t - 1 , - 1 , - 1 + s ( 2 , - 1 , - 1 )

Passo 5

Beleza, mas o enunciado pediu pra gente a equação cartesiana, então vamos achá-la:

x , y , z = 3,1 , 2 + t - 1 , - 1 , - 1 + s 2 , - 1 , - 1 = 3 - t + 2 s , 1 - t - s , 2 - t - s

x = 3 - t + 2 s y = 1 - t - s z = 2 - t - s

E por fim, acho z - y = 1

Resposta

a) r = { 3,1 , 2 + t ( - 1 , - 1 , - 1 ) | t ∈ R }

b)   2 6

c)   z - y = 1

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Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
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