Exercícios Resolvidos de Matriz que Representa uma TL

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Enunciado

PUCRIO, Álgebra Linear I, G4-2017.1, Questão 3

Sejam os vetores e Considere a transformação , dada por

(a) Calcule

(b) Mostre que é uma transformação linear.

(c) Determine uma base de

(d) Determine uma base de

(e) Determine a matriz canônica de , ou seja, a matriz e . (O mesmo que , ou ainda, )

Passo 1

a)Quero achar , sabendo que , e . Então:

Passo 2

b)Para ser transformação linear preciso que:

Sendo e :

Agora vamos achar essas transformações:

Agora vamos igualar:

Conseguimos ver que é igual!

Passo 3

Agora vamos ver a segunda:

Sendo

Já achamos no passo 3, aí é só multiplicar por

Igualando:

Também foi satisfeito, conseguimos então, provar que é um transformação linear!

Passo 4

c) Agora vamos achar o núcleo de :

Sendo

Como as equações são múltiplas uma da outra, são redundantes e não precisamos das duas para achar as informações que queremos sobre o núcleo, logo:

Como esses vetores formam um conjunto , dizemos que eles são uma base do núcleo:

Passo 5

d) Agora a imagem, sendo

Vamos desmembrar a fórmula da

Todos esses vetores são múltiplos um dos outros, a base da imagem vai ser:

Passo 6

e)A matriz de na base canônica pode ser obtida simplesmente botando aquilo que multiplica na primeira coluna, que multiplica na segunda e que multiplica na terceira:

Resposta

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