PUCRIO, Álgebra Linear I, G4-2017.1, Questão 2
Considere a reflexão com relação à reta .
(a) Determine os autovalores de e os respectivos autoespaços.
(b) Determine a matriz canônica de , ou seja, a matriz onde
(c) Determine e
(d) Diagonalize ortogonalmente , ou seja, encontre uma matriz diagonal, uma matriz ortogonal e sua inversa tais que
(e) Calcule e .
Passo 1
a)Como é uma reflexão, sei que seus autovalores vão ser 1 e O 1 associado a reta em que estamos refletindo e associado ao seu complemento ortogonal! Isso porque os vetores pertencentes a reta permanecem os mesmos e os do complemento ortogonal são invertidos.
Assim,
Agora precisamos achar o complemento ortogonal de Como estamos no , sei que a soma da dimensão do espaço com a dimensão do complemento desse espaço deve ser 3:
Sei que é uma reta, então sua dimensão vai ser 1:
Ou seja, o complemento vai ser um plano, e tenho o vetor ortogonal a esse plano, então sei que sua equação vai ser:
Como esses dois vetores encontrados formam um conjunto , podemos dizer que eles geram nosso espaço.
Passo 2
b)Vamos achar essa transformação, primeiro juntando as coisas que eu já tenho:
Como os três vetores do domínio formam uma base para esse espaço, podemos escrever qualquer vetor como deles, como os da base canônica:
E se eu quiser saber a transformações desses vetores pra botar na minha matriz, tenho o seguinte:
E nossa matriz vai ser:
Passo 3
Basta acharmos os coeficientes!
Resolvendo esse sistema achamos que e . Agora, o próximo vetor:
Resolvendo esse daqui e .
E, por fim, e
Logo, minha matriz vai ser:
Passo 4
c) Queremos o núcleo e imagem de uma reflexão por uma reta no
Acontece que não existe nenhum vetor que é levado ao vetor nulo após uma reflexão que não seja o próprio vetor nulo! Podemos provar isso de outra forma também: vendo que o 0 não é autovalor!
Assim, achamos que . Opa, to falando de núcleo, imagem, dimensão... o que isso lembra? O TNI! Então vamos aplicá-lo:
Bom, o contradomínio vai ser o e a imagem está contida nele. Como ela tem dimensão 3 e o também, a imagem vai ser o próprio Assim, uma possível base para ela é a base canônica:
Passo 5
d) Para diagonalizar a matriz preciso achar uma matriz composta pelos autovetores nas colunas, uma matriz composta pelos autovalores na diagonal e a inversa de
Mas se tivermos uma base ortonormal do de autovetores em , facilitando muito a nossa vida!
Vou achar um vetor ortogonal a e fazendo o produto vetorial entre eles:
Agora, normalizando, minha base fica:
Passo 6
Assim, posso achar as matrizes que eu preciso para diagonalizar:
Logo a diagonalização vai ser:
Passo 7
e) Como é uma matriz reflexão, se eu aplicá-la um número ímpar de vezes, vai resultar a primeira reflexão, ou seja, vai ser como se eu tivesse aplicado a matriz uma vez só. Assim,.
Agora, se eu refletir (aplicando 1 vez) e depois refletir novamente, acabo voltando ao vetor inicial (aplicando 2 vezes) e isso não acontece apenas quando aplico 2 vezes, mas sempre que aplico um número par de vezes! Assim, .
Resposta
a) e
b)
c) e
d)
e) e