Listas do AVA de Cálculo 1 da UFRJ - Lista 8 - Taxas Relacionadas

Cascalho está caindo e formando uma pilha cônica que aumenta a uma taxa de 3m³/min, de modo que o raio do cone é sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é de 3m.

Uma câmera de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação sendo s a altura e t o tempo. A câmera está a 600 m do local de lançamento. Encontre a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial, 10 segundos após o lançamento (suponha que a câmera e a base do ônibus estão no mesmo nível no tempo t = 0).

Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto P como descrito na figura ao lado. Neste instante, um dos aviões está a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P a 450 milhas por hora, enquanto o outro está a 200 milhas do ponto P e se movendo a 600 milhas por hora, também em direção ao ponto P.

1. Antes do ponto P, a distância entre os aviões está diminuindo? A que taxa?
2. Os aviões correm risco de choque? Em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer com que um avião mude a sua trajetória?

Um ponto, move-se ao longo da elipse . A abscissa x está variando com velocidade

Mostre que

Uma escada de 8m está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 m/s, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a extremidade inferior estiver a 3m da parede?

Enche-se de água um reservatório, cuja forma é de um cone circular reto, a uma taxa de 0,1 m³/s. O vértice está a 15 m do topo e o raio do topo é de 10 m. Com que velocidade o nível da água está subindo no instante em que h = 5 m?

O raio de luz de um farol, que está situado a 3 km de uma praia reta, faz 8 rpm (rotações por minuto). Considere a altura do farol desprezível em relação a sua distância até a praia. Determine a velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ângulo de 45° com a linha da praia.