Cascalho está caindo e formando uma pilha cônica que aumenta a uma taxa de 3m³/min, de modo que o raio do cone é sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é de 3m.

Passo 1

Opa, e aí galerinha!! Vamos tentar desenhar essa parada pra gente entender o que tá acontecendo?

Bem, a pilha de cascalho de altura h e raio r tem volume de um cone, ou seja:

V = π r 2 h 3

Como o diâmetro da base é o dobro do raio e o enunciado nos diz o raio do cone é sempre igual a altura.

h = r

Então o volume é dado por:

V = π h 3 3

Passo 2

Derivando em função do tempo, temos:

d V d t = π 3 × 3 h 2 × h ' t = π × h 2 × h ' ( t )

Logo,

h ' t = V ' t π h 2

Então, quando h = 3 metros e V ' t = 3 m 3 / m i n

h ' t = 3 π 3 2 = 1 3 π

Assim, a altura varia a uma razão de 1 3 π metros por minuto.

Resposta

d h d t = 1 3 π   m / m i n  

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