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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 1 – Lista 8 – Questão 2

Uma câmera de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação s = 15 t 2 sendo s a altura e t o tempo. A câmera está a 600 m do local de lançamento. Encontre a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial, 10 segundos após o lançamento (suponha que a câmera e a base do ônibus estão no mesmo nível no tempo t = 0).

Passo 1

Opa, e aí galerinha!! Vamos tentar desenhar essa parada pra gente entender o que tá acontecendo?

Bem, a distância entre câmera e ônibus espacial é dado pela distância x do nosso desenho, e de acordo com Pitágoras, temos que:

x 2 = 600 2 + y 2

x 2 = 360000 + 15 t 2

Queremos saber qual será a distância após 10 s do lançamento, certo? Então precisamos derivar isso aí!!!

Passo 2

Derivando em função do tempo, temos:

d d t x 2 = d d t 360000 + 15 t 2

2 x d x d t = 30 t

d x d t = 30 t x

Porém quem é x? Bem vimos quem é lá no passo 1 :

x = 600 2 + y 2

Logo,

d x d t = 30 t 600 2 + y 2

E y = s = 15 t 2

d x d t = 30 t 600 2 + 15 t 2 2 = 278,5   m / s

Resposta

d x d t = 278,5   m / s

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