P1 de Cálculo 1 da UFRJ - 2022.2

Questão 1.2 - A equação

(a) tem exatamente uma raiz real negativa, mas não tem uma raiz real positiva.

(b) tem pelo menos três raízes reais.

(c) tem exatamente uma raiz real positiva, mas não tem uma raiz real negativa.

(d) não tem raízes reais.

Questão 1.1: Seja uma função contínua tal que , , , e . Considere as seguintes afirmações:

(a) A reta se intersepta com o gráfico de exatamente vezes.

(b) A reta se intersepta com o gráfico de pelo menos vezes.

(c) A reta se intersepta apenas uma vez com o gráfico de .

(d) A reta não se intersepta com o gráfico de .

Questão 1.4 - Um recipiente em formato cônico é construído com altura fixa de . A circunferência da base mede com um possível erro de . Dê uma estimativa para o erro no cálculo do volume da peça (use nas contas a aproximação ).

Questão 4 - A superfície de um cubo oco, de aresta , é feita de um material que se encolhe uniformemente a uma taxa constante de . Determine com que taxa está diminuindo o volume do cubo no momento em que sua aresta mede .

Questão 3 - Considere a curva plana determinada pela equação . Sabendo que a variável é dada implicitamente em função de próximo do ponto , determine a equação da reta tangente ao gráfico dessa curva no ponto .

Questão 1.3 - A função terá duas assíntotas horizontais distintas se e somente se

(a) e .

(b) e .

(c) e .

(d) e .

Questão 2 - Seja , definida por

Determine o valor das constantes reais , e que tornam contínua em todo .

Questão 5 - Seja . Sabendo que e para todo , determine, caso existam:

(a) assíntotas horizontais e verticais do gráfico de ;

(b) intervalos onde é crescente e intervalos onde é decrescente;

(c) máximos e mínimos locais de ;

(d) intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima e intervalos onde o gráfico de é côncavo para baixo;

(e) pontos de inflexão do gráfico de .

Utilizando os resultados dos itens anteriores, esboce o gráfico de .