UFRJ. Cálculo 1. Prova P1. 2022.2. Questão 2.
Questão 2 - Seja , definida por
Determine o valor das constantes reais , e que tornam contínua em todo .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão, temos uma função que é definida em quatro partes diferentes. Se , a função se comporta como , se a função se comporta como , se a função é igual a e se a função se comporta como .
Nosso objetivo é determinar os valores de , e de modo que a função seja constante para qualquer valor .
O que podemos fazer nesse caso?? 🤔
Para a função ser contínua o que deve acontecer é que quando acontecer as mudanças de comportamento que vimos anteriormente não pode haver uma descontinuidade no gráfico de , ou seja, o comportamento posterior de uma mudança deve dar continuidade no comportamento anterior.
De forma mais matemática dizemos que o limite de uma função infinitesimalmente antes da mudança deve igual ao limite da outra função infinitesimalmente depois da mudança.
Sacou? Bora ver na prática? 😁
Passo 2
Vamos chamar de
A primeira mudança ocorre em , então
Se e
Calculando o limite de pelo método de substituição, temos
Caímos em uma indeterminação, então temos que usar algum método para sair desse problema.
Aplicando L’Hopital, derivando em cima e em baixo, temos
Pela regra da cadeia é obtido pelo produto da derivada de dentro e da derivada de fora
Voltando para ...
Já a derivada é obtido por uma regra de derivação que diz que , onde é uma constante.
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Substituindo os resultados no limite
Agora sim substituindo por , vamos obter
Com isso, vemos que quando se aproxima de pela esquerda, a função tende a .
Agora calculando o limite de substituindo por , temos
Então se
Assim, vemos que deve ser igual a para que a primeira mudança de comportamento seja contínua!
Bacana, não é? 😉
Passo 4
A próxima mudança acontece em , infinitesimalmente antes assume comportamento e em .
Aplicando o mesmo método dos limites das funções, temos que
Se e .
Calculando o limite de pelo método de substituição
Caímos em outra indeterminação e como temos um modulo no denominador, a aplicação de L’Hopital não é tão simples.
Fatorando o numerador da função, vamos ter
Como o tende a um número negativo e menor que , podemos reescrever o módulo como , concorda?
Substituindo por agora, vamos obter
Já no limite de , temos
Pelas propriedades dos limites, sabemos que o limite de uma constante é igual a própria constante
Portanto, se , então
Com isso, para haver continuidade na segunda mudança de comportamento, deve ser igual a .
Está acompanhando? 👍
Passo 5
Por fim, na última mudança de comportamento que também ocorre em , temos que
Já temos o resultado de
Então temos que forçar o limite de ser igual a
Se
Se substituirmos por , temos
Obtemos algo sendo dividido por o que não pode acontecer, então temos que arrumar uma forma de reescrever essa função de integração
Reescrevendo como e substituindo no limite, vamos poder aplicar L’Hopital, já que é uma indeterminação.
Pelas propriedades dos limites, sabemos que , ou seja
Aplicando L’Hopital em temos que pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de é igual a e a derivada de pelo método da derivação polinomial é igual a , logo
Agora substituindo por
E como
Aplicando nos dois lados da igualdade para tirar do exponencial, temos
E com isso, para a função ser contínua em todo o domínio de , deve ser igual a , deve ser igual a e igual a !!
Legal, não é? 😎
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
