UFRJ. Cálculo 1. Prova P1. 2022.2. Questão 1.2.
Questão 1.2 - A equação
(a) tem exatamente uma raiz real negativa, mas não tem uma raiz real positiva.
(b) tem pelo menos três raízes reais.
(c) tem exatamente uma raiz real positiva, mas não tem uma raiz real negativa.
(d) não tem raízes reais.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão temos uma equação de ordem muito grande, dada por .
Apenas a partir dessa equação, temos que obter algumas informações sobre as raízes dessa equação.
Mas com uma ordem tão grande assim, como vamos analisar essas raízes? 🤔
Vamos considerar a equação como uma função igual a , ou seja, se e se , podemos dizer que
Trabalhando com funções fica mais fácil de analisar o comportamento de um gráfico pois podemos calcular suas derivadas.
Vamos usar isso a nosso favor!
Bora? 😁
Passo 2
Se analisarmos o intervalo dos números negativos, perceba que será menor que , já que se for negativo os resultados de e serão negativos.
Com isso, vamos que a função é menor que durante todo o intervalo dos números negativos!
Dessa forma, não há raízes de para valores menores que .
Por outro lado, se derivarmos , vamos encontrar algo interessante.
Derivando pelo método de derivação polinomial, temos
Perceba que quanto maior for , dentro do intervalo dos números positivos, maior será .
Ou seja, se a derivada de aumenta, a tangencia de aumenta, logo podemos afirmar que é crescente durante todo .
Isso é um indício que possui apenas uma raiz, mas onde será essa raiz?? 🤔
Temos que descobrir pra confirmar nossa teoria!
Passo 3
Vamos dar uma olhada nas imagens de .
Em , a função possui imagem
Já em , a função possui imagem
Se em a imagem é negativa e em a imagem é positiva, essa única raiz que possui, certamente está nesse intervalo .
Analisando as alternativas do problema, vemos que a alternativa c) é a única que diz que tem apenas uma raiz real positiva e nenhuma raiz negativa.
Portanto, a c) é a alternativa correta!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
(c) tem exatamente uma raiz real positiva, mas não tem uma raiz real negativa.