UFRJ. Cálculo 1. Prova P1. 2022.2. Questão 1.4.
Questão 1.4 - Um recipiente em formato cônico é construído com altura fixa de . A circunferência da base mede com um possível erro de . Dê uma estimativa para o erro no cálculo do volume da peça (use nas contas a aproximação ).
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Temos que construir um cone de altura e de circunferência na parte mais grossa. Por algum motivo o equipamento que usamos para medir essa circunferência possui um erro de .
Esse erro é o suficiente para modificar o volume do nosso cone e nosso objetivo é justamente encontrar essa variação do volume dado essa estimativa de erro.
Tem alguma ideia do que fazer? 👀
Lembra como é a fórmula do volume do cone?
E a fórmula do comprimento da circunferência?
A informação que nos deram foi da circunferência, portanto temos que dar um jeito de introduzis em .
A partir daí podemos calcular derivando a funções que vamos obter para calcular a variação.
Entendeu? Bora lá! 😁
Passo 2
é o raio da base do cone e é a altura.
A altura foi dada e é , já vamos substituir.
Em uma fração, podemos fazer muitas coisas desde que fazemos no numerador e no denominador.
multiplicando em cima e em baixo por em , temos
Agora fazendo o mesmo com ...
Como , temos
Mas pera aí! não é ? Ou seja
Substituindo por e simplificando a equação...
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora o que queremos saber é a variação de volume , dado uma variação na circunferência .
O que falta é algo que nos dê uma taxa de variação do volume.
Como podemos encontrar esse algo? 🤔
A derivada de uma função, nos dá a tangência de uma função, não é? Essa tangência pode ser interpretada como uma variação dessa função, concorda?
Então, o que temos é que
Onde é a variação do volume que estamos procurando, é a taxa de variação de e é a variação da circunferência que foi dada no enunciado.
Derivando com relação a para obter , temos
Pelo método de derivação polinomial, vemos que resulta em
Dessa forma, é dado por
foi dado no enunciado como , já foi dado como . Fazendo essas substituições...
Portanto, vemos que a diferença de volume a partir do erro de medição é de aproximadamente !
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
