UFRJ. Cálculo 1. Prova P1. 2022.2. Questão 3.
Questão 3 - Considere a curva plana determinada pela equação . Sabendo que a variável é dada implicitamente em função de próximo do ponto , determine a equação da reta tangente ao gráfico dessa curva no ponto .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nós temos uma curva dada pela equação . Perceba que é dado implicitamente em função de .
O que queremos é obter a equação da reta tangente à curva no ponto .
Lembra como fazemos isso? 🤔
A equação de uma reta no plano cartesiano é dada por
Onde é o coeficiente angular da reta e é uma constante de correção .
é obtido a partir da tangencia de uma curva e a tangencia de uma curva é o mesmo que a derivada dessa curva em um ponto. Ou seja
Como foi dado no enunciado, o ponto pertence à curva, portanto quando , também.
Essas informações são importantíssimas!
Pronto? Bora lá? 😉
Passo 2
Considerando como uma função , temos que
Vamos encontrar a derivada de então pra isso começamos a derivar nos dois lados
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas
Pela regra da cadeia, a derivada de é dada pela derivada de dentro multiplicado pela derivada de fora .
Já a derivada de , pelo método de derivação polinomial é igual a
E por fim, a derivada de , pela regra da cadeia, é dada por
Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de é igual a
Substituindo de volta
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Substituindo os resultados das derivadas na equação, vamos obter
A derivada de é obtida pela regra do quociente, ou seja
Como sabemos que a derivada de é , então
Substituindo na equação
Simplificando...
Estamos chegando no fim!
Tudo certo? 👍
Passo 4
Estamos interessados em saber sobre a reta tangente no ponto , ou seja, e .
Fazendo as substituições e isolando , vamos obter
Simplificando...
Logo
Nosso coeficiente angular é igual a . Isso significa que se substituirmos por e por na equação da reta, temos
Como temos pelo ponto , , portanto
É a equação da reta tangente à curva no ponto !
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
