PF de Cálculo 1 da UFRJ - 2018.2

Q01I) Calcule o limite:

Q02b) Calcule a integral:

Q01II) Considere a função abaixo

Encontre valores de e de modo que seja uma função contínua.

Q01III) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função quando .

Q01IV) A população de uma colônia de bactérias 1 hora após o início da cultura é de 2018 células. Sabendo-se que a colônia inicialmente tinha 2 organismos, mostre que em algum instante de tempo entre 0 e 1 hora a taxa de crescimento dessa população foi de exatamente 2016 bactérias por hora.

Q02a) Calcule a integral:

Q03) Deseja-se construir um reator nuclear em uma usina elétrica. O reator tem formato cilíndrico e será instalado dentro de uma cúpula semi-esférica de raio igual a , conforme ilustra a figura abaixo. Determine o raio da base do cilindro de maior volume que pode ser instalado dentro da cúpula.

Q01V) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região entre as curvas , , e em torno da reta .

4) Considere a função , sendo suas derivadas primeira e segunda dadas, respectivamente, por e . Siga o roteiro abaixo para esboçar um gráfico de :

1. Encontre as raízes de
2. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de , caso existam
3. Identifique os intervalos onde é crescente e decrescente
4. Encontre os pontos de máximo e mínimo locais de caso existam
5. Identifique os intervalos onde é côncava para cima ou para baixo, e encontre os seus pontos de inflexão, caso existam
6. Com base nas informações acima, esboce um gráfico de