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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Q02b) Calcule a integral:

∫ 0 π 2 e sin ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 1

Epa, uma trigonométrica dentro de uma exponencial? Babou!

Será mesmo? Veja bem, sempre que temos uma integral doida dessas a gente tem que se perguntar: tem coisas dentro dela que são derivada uma da outra? Porque se você fizer uma substituição simples, talvez dê pra cortar algo! Vamos tentar então:

u = sin ⁡ x

d u d x = cos ⁡ x

d x d u = 1 cos ⁡ x

d x = d u cos ⁡ x

E olha lá! Vai dar pra cortar sim em! Mas antes de substituir, vamos mudar os limites de integração também:

u = sin ⁡ x →   x = π 2 ;         u = sin ⁡ π 2 = 1 x = 0   ;         u = sin ⁡ 0 = 0

Sendo assim, substituímos para:

∫ 0 π 2 e sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ 0 1 e u cos ⁡ x d u cos ⁡ x = ∫ 0 1 e u d u

E viu só? Uma integral bem mais tranquilona de resolver! Vamos ter:

∫ 0 1 e u d u = e u u = 0 u = 1 = e 1 - e 0 = e - 1

A resposta final vai ser:

∫ 0 π 2 e sin ⁡ x cos ⁡ x d x = e - 1

Resposta

∫ 0 π 2 e sin ⁡ x cos ⁡ x d x = e - 1

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x