Q02b) Calcule a integral:

∫ 0 π 2 e sin ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 1

Epa, uma trigonométrica dentro de uma exponencial? Babou!

Será mesmo? Veja bem, sempre que temos uma integral doida dessas a gente tem que se perguntar: tem coisas dentro dela que são derivada uma da outra? Porque se você fizer uma substituição simples, talvez dê pra cortar algo! Vamos tentar então:

u = sin ⁡ x

d u d x = cos ⁡ x

d x d u = 1 cos ⁡ x

d x = d u cos ⁡ x

E olha lá! Vai dar pra cortar sim em! Mas antes de substituir, vamos mudar os limites de integração também:

u = sin ⁡ x →   x = π 2 ;         u = sin ⁡ π 2 = 1 x = 0   ;         u = sin ⁡ 0 = 0

Sendo assim, substituímos para:

∫ 0 π 2 e sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ 0 1 e u cos ⁡ x d u cos ⁡ x = ∫ 0 1 e u d u

E viu só? Uma integral bem mais tranquilona de resolver! Vamos ter:

∫ 0 1 e u d u = e u u = 0 u = 1 = e 1 - e 0 = e - 1

A resposta final vai ser:

∫ 0 π 2 e sin ⁡ x cos ⁡ x d x = e - 1

Resposta

∫ 0 π 2 e sin ⁡ x cos ⁡ x d x = e - 1

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