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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Q02a) Calcule a integral:

∫ 0 ∞ x 3 e - x 2 d x

Passo 1

Pra começar, essa forma de escrever integral professor nem gosta de ver. Então quando vemos uma integral imprópria assim a gente já vai lá e reescreve ela pra uma forma mais adequada:

∫ 0 ∞ x 3 e - x 2 d x = lim c → + ∞ ⁡ ∫ 0 c x 3 e - x 2 d x

Agora que escrevemos assim temos três passos pra resolver:

  • Resolver a integral de forma indefinida
  • Aplicar os limites de integração
  • Aplicar o limite c → + ∞

Vamo que vamo então!

Passo 2

Partiu então resolver:

∫ x 3 e - x 2 d x

Bem, esse - x 2 ai dentro do e é bem estranho né? Como trabalhar com ele? Bem, a gente tem que tentar sumir na verdade com ele. Pra tentar sumir, bora substituir então para:

y = - x 2

Desse jeito, derivando em relação à x dos dois lados, vamos ter:

d y d x = - 2 x

d x d y = - 1 2 x

d x = - d y 2 x

Aplicando essa substituição simples na integral, vamos ficar com:

∫ x 3 e - x 2 d x = ∫ - x 3 e y 2 x d y = ∫ - x 2 e y 2 d y = ∫ y   e y 2 d y

Agora que sumimos com a raíz, ficou um pouco mais tranquilo, porque veja só! Ganhamos um produto de duas funções diferentes, um polinômio y 2 e uma exponencial   e y . Sentiu cheirinho de integração por partes? Eu senti em! Sendo então:

u = y 2 → d u = 1 2   d y

e y d y = d v → v = e y

A integração por partes, que segue o modelo:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vai ficar:

∫ y   e y 2 d y = y   e y 2 - ∫ e y 2   d y  

∫ y   e y 2 d y = y   e y 2 - e y 2  

∫ y   e y 2 d y = e y y - 1 2  

E voltando pra variável original:

∫ x 3 e - x 2 d x = e - x 2 - x 2 - 1 2

∫ x 3 e - x 2 d x = - e - x 2 x 2 + 1 2

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração e depois aplicar o limite mesmo de c → ∞ . Vamos ter:

∫ 0 c x 3 e - x 2 d x = - e - x 2 x 2 + 1 2 x = 0 x = c

∫ 0 c x 3 e - x 2 d x = - e - c 2 c 2 + 1 2 - - e - 0 2 0 2 + 1 2

∫ 0 c x 3 e - x 2 d x = - c 2 + 1 2 e c 2 - - e 0 1 2

∫ 0 c x 3 e - x 2 d x = - c 2 + 1 2 e c 2 + 1 2

Aplicando o limite então:

lim c → + ∞ ⁡ ∫ 0 c x 3 e - x 2 d x = lim c → + ∞ ⁡ - c 2 + 1 2 e c 2 + 1 2 = lim c → + ∞ ⁡ - c 2 + 1 2 e c 2 + lim c → + ∞ ⁡ 1 2

lim c → + ∞ ⁡ ∫ 0 c x 3 e - x 2 d x = lim c → + ∞ ⁡ - c 2 + 1 2 e c 2 + 1 2

O limite que sobrou ali se substituirmos, vamos ver que vai dar uma indeterminação do tipo + ∞ + ∞ . Sendo assim, podemos realizar L’Hospital pra sumir com a indeterminação. Logo vamos ter:

lim c → + ∞ ⁡ - c 2 + 1 2 e c 2 + 1 2 = - lim c → + ∞ ⁡ c 2 + 1 ' 2 e c 2 ' + 1 2 =

Usando a regra da cadeia pra derivar 2 e c 2 e sabendo que c 2 ' = 2 c , ficamos com:

= - lim c → + ∞ ⁡ 2 c 4 c e c 2 + 1 2 = - lim c → + ∞ ⁡ 1 2 e c 2 + 1 2

E olha só! Agora a indeterminação sumiu, viu? Aplicando o limite vamos ter:

= - lim c → + ∞ ⁡ 1 2 e c 2 + 1 2 = - 1 + ∞ + 1 2 = 0 + 1 2 = 1 2

Fechado então! A integral vale:

∫ 0 ∞ x 3 e - x 2 d x = 1 2

Resposta

∫ 0 ∞ x 3 e - x 2 d x = 1 2

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