P2 de Cálculo 2 da UFRJ - 2013.1

Considere a superfície formada pelos pontos satisfazendo a equação

Onde é um número real.

1. Escreva a equação do plano tangente a no ponto
2. Encontre de modo que o plano tangente a no ponto contenha a origem.

Encontre a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .

6. Nenhuma das demais alternativas

Calcule, se existirem, o máximo e o mínimo absolutos de

na região

O vetor que dá a direção e o sentido onde ocorre a maior taxa de variação de no ponto é:

6. nenhuma das demais alternativas

Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

1. Se uma função possui derivadas parciais contínuas, então ela é diferenciável.
2. Uma função diferenciável em pode não ter plano tangente em
3. Toda função continua em um ponto é diferenciável em .
4. A função tem derivadas direcionais em todas as direções no ponto .
5. Para provar que uma função é continua em , basta provar que existe sobre todas as retas que passam por
6. Nenhuma das demais alternativas é verdadeira.

Com relação a

pode-se afirmar que:

1. O limite nao existe
2. O limite existe e é igual a
3. O limite existe e é igual a
4. O limite existe e é igual a
5. O limite existe e é igual a
6. Nenhuma das demais alternativas é verdadeira

Seja . Com relação ao ponto , podemos afirmar que:

1. é um ponto de sela
2. é um ponto de mínimo local
3. é um ponto de máximo local
4. nao é um ponto critico
5. é um ponto crítico, mas o teste da segunda derivada resulta inconclusivo
6. nenhuma das demais alternativas é correta.

Seja uma função diferenciável no ponto . Se o plano tangente ao gráfico de no ponto é , então é:

6. Nenhuma das demais alternativas

Seja uma função cujo gradiente é dado por . Considere a curva parametrizada por

E a função definida por . Calcule .

Os mapas de contorno abaixo (figuras , e ) correspondem a que gráficos (figura , , ou )?

1. , ,
2. , ,
3. , ,
4. , ,
5. , ,
6. , ,