Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja f : R 2 ⟶ R uma função cujo gradiente é dado por ∇ f x , y = 2 x y 3 + 3 ,   3 x 2 y 2 - 2 . Considere a curva parametrizada por

x t = t 2   y t = t 3 - t

E a função F definida por F t = f x t , y t . Calcule d F d t 1 .

  1. 2
  2. - 10
  3. 2,2
  4. 10
  5. - 2
  6. 3 , - 2

Passo 1

Calculando a derivada pela regra da cadeia:

d F d t = ∇ f x , y ⋅ σ ' t

Passo 2

Calcular gradiente da função:

Já foi dado no enunciado:

∇ f x , y = 2 x y 3 + 3 ,   3 x 2 y 2 - 2

Passo 3

Definir função vetorial:

Foi dada pelo enunciado:

σ t = t 2 , t 3 - t

Passo 4

Derivar parametrização:

σ ' t = 2 t , 3 t 2 - 1

Passo 5

Calcular x e y correspondentes a t = 1 :

σ t = t 2 , t 3 - t

⇒ σ 1 = 1 2 , 1 3 - 1

⇒ σ 1 = 1,0

Então x = 1 e y = 0

Passo 6

Calcular gradiente nesse ponto:

∇ f x , y = 2 x y 3 + 3 ,   3 x 2 y 2 - 2

⇒ ∇ f 1,0 = 2 1 0 3 + 3 ,   3 1 2 0 2 - 2

⇒ ∇ f 1,0 = 0 + 3 ,   0 - 2

⇒ ∇ f 1,0 = 3 , - 2

Passo 7

Calcular derivada em t = 1 :

σ ' t = 2 t , 3 t 2 - 1

⇒ σ ' 1 = 2 1 , 3 1 2 - 1

  ⇒ σ ' 1 = 2,2

Passo 8

Agora é só fazer o produto escalar:

d F d t 1 = ∇ f 1,0   ⋅ σ ' 1

⇒ d F d t 1 = 3 , - 2   ⋅ 2,2

⇒ d F d t 1 = 3 2 + - 2 2

⇒ d F d t 1 = 6 - 4

⇒ d F d t 1 = 2

Portanto, a alternativa correta é a letra (a).

Resposta

Alternativa (a).

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .9. z = ln (3 x + 2 y) , x = s . s e n t , y = t . cos s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .