Plano tangente e reta normal
Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
- Se uma função possui derivadas parciais contínuas, então ela é diferenciável.
- Uma função diferenciável em pode não ter plano tangente em
- Toda função continua em um ponto é diferenciável em .
- A função tem derivadas direcionais em todas as direções no ponto .
- Para provar que uma função é continua em , basta provar que existe sobre todas as retas que passam por
- Nenhuma das demais alternativas é verdadeira.
Passo 1
Vamos analisar cada alternativa
a)
Lembra que vimos os três teoremas sobre diferenciabilidade?
- Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
- Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
- Se e existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.
Então ela é verdadeira.
Passo 2
b)
Para achar o plano tangente precisamos achar o vetor normal que leva em conta as derivadas parciais. Dessa forma se ela tem as derivadas parciais no ponto ela tem plano tangente.
Então é falso essa afirmação.
Passo 3
c)
As regras de diferenciabilidade estão ali no passo 1, podemos ver que isso não é verdade.
Entao essa afirmação é falsa.
Passo 4
d)
A primeira coisa a fazer para achar a derivada direcional é calcular o vetor gradiente.
O vetor gradiente não existe em , logo a afirmação é falsa.
Passo 5
e)
Isso só nos dá um indicio que o limite pode existir, uma função pode apesar desse indicio não ter limite. Afirmação falsa.
Resposta
Alternativa (a)