P1 de Cálculo 2 da UFRJ - 2016.1

Considere uma curva dada pela interseção do cilindro com o plano . Uma parametrização de com , é:

O ângulo entre o vetor , onde , e o vetor ortogonal ao plano é . Então, o maior valor de é?

O comprimento da curva parametrizada por , é?

Uma partícula se desloca no plano com vetor posição definido por , . Num dado instante ela se encontra num ponto de sua trajetória tal que sua velocidade faz um ângulo de 45° com os eixos coordenados. Encontre .

Um tanque contém de água. Uma solução com concentração salina de é adicionada a uma taxa de . A solução é mantida misturada e é retirada do tanque a uma taxa de . Se é a quantidade de sal (em ) após minutos, qual a equação diferencial que modela essa mistura ?

Considere a curva parametrizada por . O vetor tangente a no ponto é paralelo ao vetor . Encontre .

Sabe-se que tem como solução geral , onde . Então, quanto valem e ?

Sabendo-se que tem uma solução particular da forma , para alguma constante real . Então, quanto vale ?

Um fator integrante de é?

Encontre a solução de

Duas partículas e se deslocam em movimentos circulares com as trajetórias descritas respectivamente por :

Com medido em segundos e em metros. As duas partem do ponto e se encontram pela primeira vez no ponto com velocidade (escalar) relativa de em relação a igual a ?

A curva parametrizada por , está contida no plano:

A curva parametrizada por , intercepta ortogonalmente o plano . Qual o valore de ?

Considere a curva parametrizada por . Então, encontre o plano perpendicular a no ponto .