USP – Cálculo 2 – P1 – 2022.2 – Questão 1.
1) Seja dada por .
a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de em torno de .
b) Use o item anterior para obter uma aproximação, na forma de fração irredutível, de . Mostre também que o erro cometido nesta aproximação é inferior, em módulo, a .
Passo 1
Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?
a) Bom, a pede pra gente determinar o polinômio de Taylor de ordem 3 de em torno de . Então teremos que calcular as derivadas até a terceira ordem e aplicar na relação do polinômio de Teylor.
Vem comigo que te mostro como.
Passo 2
A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem da função :
Sendo
Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:
Passo 3
Agora temos que achar cada termo da função:
Passo 4
O polinômio vai ficar:
Passo 5
Na letra b) termos que calcular usando o polinômio de Taylor encontrado uma aproximação, na forma de fração irredutível, de . Então faremos:
Passando pra fração teremos:
Passo 6
Para o cálculo do erro podemos considerar a função:
Nossas condições nos dão como ponto para aproximar o , já que está próximo de .
Para a ordem pedida, o erro estará associado a ordem seguinte:
Para substituir, derivamos 4 vezes, assim:
Substituindo:
Para a distância escolhida:
Passo 7
Temos que , então:
É um erro bem, bem pequeno.
Resposta
Resposta:
a)
b)
E