USP – Cálculo 2 – P1 – 2022.2 – 3
3. Seja dada por
a) Decida se é contínua em .
b) Calcule e .
c) A função é diferenciável em ?
Passo 1
a) Olá, pessoal! Tudo bom? O enunciado nos deu a seguinte função
E quer saber se ela é contínua em . Para ela ser contínua nesse ponto, precisamos satisfazer a seguinte condição,
Ou seja, temos que verificar se
Para resolver esse limite, podemos aplicar o Teorema do Sanduíche.
Bora lá!
Passo 2
Pelo Teorema do Sanduíche, temos que se
e
então:
Intuitivo né? A função está “ensanduichada” entre as funções e , então o limite delas tem que ser o mesmo. Na prática, temos que encontrar uma expressão contida na função que esteja limitada entre dois extremos.
Vamos calcular:
Perceba que:
Beleza? Isso porque , então é lógico que , pois estou somando algo não negativo. Agora, vamos dividir tudo por:
Lembrando que esse termo é não negativo, então nada de inverter os sinais da inequação. Fica:
Percebeu que essa expressão está contida na nossa função?
Agora vamos tomar aquela desigualdade e multiplicar o que falta para que o termo do meio seja igual à nossa função. Nesse caso, basta multiplicar por :
Se :
Se , devemos inverter as desigualdades:
Agora vem a cereja do bolo: basta fazer os limites em cada termo:
ou
Agora ficou fácil calcular os limites das extremidades:
Logo, de uma forma ou de outra:
Então, a única forma de essa desigualdade ser satisfeita é que esse termo seja zero.
Portanto:
Logo a função é continua no ponto .
Passo 3
b) Agora precisamos calcular as derivadas parciais no ponto . Como no ponto , a nossa função é igual .
Então, para calcular a derivada parcial nesse ponto a gente não pode simplesmente derivar o . Aí seria fácil demais né?!
Mas, como sempre tem que ter algo pra complicar, nesses casos a gente vai ter que calcular as derivadas parciais usando a definição de derivada parcial, que nada mais é do que um limite.
Mas relaxa, nem é tão difícil assim. Você já conhece definição de derivada, então não vai ser uma parada tão diferente assim! Olha:
Vamos então calcular as derivadas parciais em da nossa função:
Prontinho! Vamos para letra C!
Passo 4
c) Agora precisamos dizer se a função é diferenciavel no ponto .
Para saber se uma função de mais de uma variável é diferenciável, existem três teoremas:
- Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
- Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
- Se e existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.
Na letra A, vimos que a função é continua em , ou seja, critério 1 está ok. Na letra B, calculamos as derivadas parciais, ou seja, critério 2 também está ok. Ou seja, pelo critério 3, temos que a função é diferenciavel no ponto.
Fim!
Resposta
No texto.