P2 de Cálculo 2 da USP - 2010

Seja uma função diferenciável em tal que . Sabe-se também que e que , em que e .

a) Ache a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .

b) Qual o valor máximo que uma derivada direcional de no ponto pode assumir?

A curva de nível da função diferenciável é parametrizada por . A curva , tem sua imagem contida no gráfico de .

a) Determine o vetor tangente à curva no ponto .

b) Determine o vetor tangente à curva no ponto .

c) Calcule

Seja .

a) Calcule as derivadas parciais de nos pontos tais que .

b) Calcule as derivadas parciais de em .

c) Existem e quando e são não-nulos?

d) Determine os pontos em que é diferenciável. Justifique.

Dada uma função de classe , defina .

a) Expresse em termos das derivadas parciais de .

b) Sabendo que , determine para um valor arbitrário de .