Seja .

a) Calcule as derivadas parciais de nos pontos tais que .

b) Calcule as derivadas parciais de em .

c) Existem e quando e são não-nulos?

d) Determine os pontos em que é diferenciável. Justifique.

b) Agora, vejamos as derivadas em . Como nesse ponto as derivadas calculadas no item possuem indeterminação, vamos calculá-las pelo limite da derivada.

Para a derivada em relação a , teremos:

Colocando a função, teremos:

Ou seja, temos que a derivada em relação a é !

Agora, fazendo o mesmo para a derivada em relação a , teremos:

Colocando a , fica:

E aí temos que a derivada em relação a também vale :D Pronto, só isso mesmo!

c) Aqui é basicamente resolver de novo o passo anterior, mas trocando o por ou dependendo do caso. Por exemplo, para a derivada em relação a , teríamos:

Colocando a função, teremos:

Ou seja, se temos o limite vai para infinito positivo, e para , vamos para o infinito negativo! Assim, não existe derivada para qualquer ponto .

Agora, fazendo o mesmo para a derivada em relação a , teremos:

Colocando a função, teremos:

Ou seja, se temos o limite vai para infinito positivo, e para , vamos para o infinito negativo! Assim, não existe derivada para qualquer ponto .

Para ver se a função é diferenciável no ponto em questão, , precisamos resolver esse limite:

E ver para que pontos ele dá ! Para tais pontos, a função será diferenciável ;)

Como as derivadas parciais na origem valem , então temos que esse limite gigante se resume a:

Para resolver agora esse limite de duas variáveis, escolhamos o caminho , por exemplo:

Como o grau de cima é menor que o de baixo, teremos:

E, quando , temos o limite indo para ! Dessa forma, vemos que o limite não pode existir, e, portanto, a função não pode ser diferenciável!

Sabemos que as derivadas parciais não existem para caminhos do tipo e . Sabemos, também, pelo limite calculado no passo anterior, que a função não é diferenciável em . E, além disso, em lugares nos quais elas existem e são contínuas.

Assim, a função é diferenciável apenas nos pontos tais que !