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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Regra da Cadeia, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Dada uma função f x , y de classe C 2 , defina g r , θ = r 2 f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ .

a) Expresse g r r r , θ em termos das derivadas parciais de f .

b) Sabendo que f 0,0 = 1 , determine g r r 0 , θ para um valor arbitrário de θ .

Passo 1

a) Vamos lá, essa é regra da cadeia pesada!

Se a nossa função é

g r , θ = r 2 f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ

Então, pela regra do produto, teremos:

g r r , θ = 2 r . f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ + r 2 f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ '

E, para resolver f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ' , usamos a regra da cadeia: f r = ∇ f . σ ' r , e teremos:

g r r , θ = 2 r . f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ + r 2 f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + r 2 f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ

Passo 2

Beleza, agora, para encontrar g r r , temos que derivar cada termo do passo anterior:

g r r r , θ = 2 r . f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ' + r 2 f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ ' + r 2 f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ '

Vamos lá, resolvendo o primeiro termo pela regra do produto, temos:

2 r . f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ' = 2 f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ + 2 r f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ '

Que, pela regra da cadeia fica:

2 r . f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ' = 2 f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ + 2 r f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + 2 r f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ

Passo 3

Agora, vamos ao termo do meio:

r 2 f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ

Derivando em relação a r   pela regra do produto, temos:

r 2 f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ ' = 2 r f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + r 2 f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ '

Como f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ ' é:

f x x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos 2 ⁡ θ + f x y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ . sin ⁡ θ

Teremos, para essa parte:

r 2 f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ ' = 2 r f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + r 2 f x x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos 2 ⁡ θ + r 2 f x y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ . sin ⁡ θ

Passo 4

Finalmente, para o terceiro termos de g r , teremos:

r 2 f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ

r 2 f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ ' = 2 r f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ + r 2 f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ '

Agora, pela regra da cadeia, teremos:

f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ ' = f y x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + f y y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin 2 ⁡ θ

E, juntando as duas partes, temos:

r 2 f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ ' = 2 r f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ + r 2 f y x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + r 2 f y y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin 2 ⁡ θ

Juntando, agora, todas as parte de g r r , temos:

g r r = 2 f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ + 2 r f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + 2 r f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ + 2 r f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + r 2 f x x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos 2 ⁡ θ + r 2 f x y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ . sin ⁡ θ + 2 r f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ + r 2 f y x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + r 2 f y y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin 2 ⁡ θ

Sabendo que f x y = f y x e juntando os termos iguais, teremos:

g r r = 2 f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ + 4 r f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + 4 r f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ + r 2 f x x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos 2 ⁡ θ + 2 r 2 f x y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ . sin ⁡ θ + r 2 f y y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin 2 ⁡ θ

Ufa! Chegamos em g r r !

Passo 5

b) Para fazer g r r 0 , θ , basta colocar r = 0   na equação que encontramos, lembrando que o enunciado também disse que f 0,0 = 1 !

g r r = 2 f 0 cos ⁡ θ ,   0 sin ⁡ θ + 4.0 f x 0 cos ⁡ θ ,   0 sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + 4.0 f y 0 cos ⁡ θ ,   0 sin ⁡ θ . sin ⁡ θ + 0 2 f x x 0 cos ⁡ θ ,   0 sin ⁡ θ . cos 2 ⁡ θ + 2.0 2 f x y 0 cos ⁡ θ ,   0 sin ⁡ θ . cos ⁡ θ . sin ⁡ θ + 0 2 f y y 0 cos ⁡ θ ,   0 sin ⁡ θ . sin 2 ⁡ θ

g r r = 2 f 0,0 + 0 = 2

Só isso :D

Resposta

a)   g r r = 2 f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ + 4 r f x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ + 4 r f y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin ⁡ θ + r 2 f x x r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos 2 ⁡ θ + 2 r 2 f x y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . cos ⁡ θ . sin ⁡ θ + r 2 f y y r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ . sin 2 ⁡ θ

b)   2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .