Funções de Várias Variáveis, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Curvas Parametrizadas
A curva de nível da função diferenciável é parametrizada por . A curva , tem sua imagem contida no gráfico de .
a) Determine o vetor tangente à curva no ponto .
b) Determine o vetor tangente à curva no ponto .
c) Calcule
Passo 1
a) Para descobrir esse vetor tangente, precisamos apenas derivar a curva no ponto pedido e substituir o valor do parâmetro nessa derivada!
Vamos, então, ver qual deve ser o valor do parâmetro para que tenhamos o ponto na curva :
Pela primeira coordenada da equação já temos:
Show, primeiro passo concluído!
Passo 2
Agora, precisamos derivar a curva :
E, agora, só jogar o valor que encontramos para o parâmetro para o ponto :
E pronto! Aí está o vetor tangente no ponto pedido :D
Passo 3
b) Agora, vamos repetir o processo para a curva . Para o ponto , temos:
Direto, também pela primeira coordenada.
Passo 4
Prosseguindo, precisamos derivar a curva, o que nos dá:
E vemos que, para qualquer parâmetro , teremos:
Aí está! O outro vetor tangente é
Passo 5
c) Finalmente! Chegamos à tão esperada letra :D Para encontrar esse vetor gradiente, o que acha da gente usar esses dois vetores que acabamos de encontrar?
O vetor gradiente da superfície é normal ao vetor tangente de , pois essa curva pertence a ! Mas tem componentes, e sabemos que nossa função é de duas variáveis. Logo, podemos fazer:
E montamos uma função de variáveis, que será:
E, para essa última, teremos que o vetor gradiente será:
Pois temos apenas o como contribuição para a terceira variável de , então a terceira componente do gradiente será sempre !
Passo 6
Beleza, agora vamos colocar na história o vetor tangente para o ponto da curva e, como ele é normal ao vetor gradiente de , teremos:
Ou seja, o produto escalar entre eles é ! Desenvolvendo o produto escalar, teremos:
Passo 7
Da mesma forma, temos que o vetor gradiente é normal a curva de nível . Portanto, é normal ao vetor tangente que encontramos para essa curva no ponto curva! Nesse caso, como não temos a terceira coordenada, fica:
Desenvolvendo o produto escalar, fica:
Só isso! Não estou colocando que essas derivadas todas são para o ponto da superfície pois é o único ponto do qual estamos tratando ;)
Passo 8
Agora que temos duas equações para as duas derivadas que queremos saber, só resolver o sistema:
Somando as duas equações, temos:
Voltando com esse valor na primeira equação, temos:
Então, o vetor gradiente para o ponto de é :D
Resposta
a)
b)
c)