Seja uma função diferenciável em tal que . Sabe-se também que e que , em que e .

a) Ache a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .

b) Qual o valor máximo que uma derivada direcional de no ponto pode assumir?

Para o primeiro vetor, temos que o valor da derivada é e o vetor é

Sabendo que a norma desse vetor é , então:

E pronto, temos aqui a primeira equação!

Agora, vamos ao segundo vetor. Para ele, a derivada vale , e seu módulo é :

E pronto! Agora só precisamos juntar as duas coisas!

Multiplicando a primeira por e a segunda por , teremos:

Somando, agora, uma com a outra, teremos:

Multiplicando tudo por , temos:

Pronto! Já temos o ! Agora, para descobrir o é só jogar em uma das equações! Na primeira, fica:

E, assim, o vetor gradiente é !

Agora, temos um vetor gradiente que tem duas variáveis. Para encontrarmos o plano, vamos fazer a artimanha de chegar na terceira componente:

E, assim, quando derivarmos em relação a , teremos a terceira componente do vetor gradiente igual a ! Enfim, nosso vetor fica:

E, para descobrir o plano tangente, só jogamos na fórmula, com o ponto de tangência sendo :

Desenvolvendo o produto escalar, teremos:

Eis aí o nosso plano!

b) Como sabemos, a direção de maior crescimento é aquela do vetor gradiente. E o valor dessa taxa de variação é a própria norma do vetor gradiente! Para encontrar essa norma, fazemos apenas o de sempre, raiz quadrada das componentes ao quadrado somadas:

Pronto, só isso :D