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P2 de Cálculo 2 da USP - 2017

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Cálculo 2 - USP

Seja f   : R 2 → R a função dada por

f x , y = x 4 + y 3 x 2 + y 2   ,       s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0   ,     s e   x , y = ( 0,0 )

Considere as seguintes afirmações:

  1. f é contínua em ( 0,0 )
  2. ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y ( 0,0 ) existem
  3. f é diferenciável em ( 0,0 )
  4. ∂ f ∂ u 0,0 = ∇ f 0,0 ∙ u para todo versor u ∈ R 2

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmações I, II e IV são verdadeiras
  2. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras
  3. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras
  4. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras

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Seja f   : R 2 → R uma função e seja ( x 0 , y 0 ) ∈ R 2 um ponto. Considere as seguintes afirmações:

  1. Se ∂ f ∂ x x 0 , y 0 e ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) existem, então f é contínua em ( x 0 , y 0 ) .
  2. Se f é diferenciável em x 0 , y 0 , então ∂ f ∂ x x 0 , y 0 e ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) existem.
  3. Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem em R 2 e são contínuas em ( x 0 , y 0 ) , então f é diferenciável em x 0 , y 0 .
  4. Se ∂ f ∂ u ( x 0 , y 0 ) existe para todo versor u ∈ R 2 , então f é difrenciável em ( x 0 , y 0 ) .

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.
  2. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
  3. Apenas as afirmações II, III e IV são verdadeiras.
  4. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
  5. Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.

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Suponha que no ponto ( x 0 , y 0 ) ∈ R 2 a função f   : R 2 → R tenha derivada direcional ∂ f ∂ u → x 0 , y 0 para todo versor u → ∈ R 2 . Assinale a alternativa correta.

  1. A função f não é necessariamente diferenciável em x 0 , y 0 e nem é necessariamente contínua em ( x 0 , y 0 ) .
  2. A função f admite necessariamente derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) e vale ∂ f ∂ u → x 0 , y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ∙ u → para todo versor u → ∈ R 2 .
  3. A função f é necessariamente diferenciável em ( x 0 , y 0 ) .
  4. A função f admite necessariamente derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) e é necessariamente contínua em ( x 0 , y 0 ) .
  5. A função f não admite necessariamente derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) .

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Seja f   : R 2 \ { ( 0,0 ) }   → R uma função diferenciável. Suponha que exista n > 1 tal que f t x , t y = t n f ( x , y ) para todo t ≠ 0 e ( x , y ) ∈ R 2 \ { ( 0,0 ) } . Então, para todo x 0 , y 0 ) ∈ R 2 \ { ( 0,0 ) } , vale

  1. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = n f ( x 0 , y 0 )
  2. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = n 2 f x 0 , y 0
  3. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = 0
  4. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = x 0 f x 0 , y 0 + y 0 f x 0 , y 0
  5. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = x 0 n f x 0 , y 0 + y 0 n f x 0 , y 0

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Seja f   : R 2 → R uma função diferenciável. Sabe-se que a reta normal ao gráfico de f no ponto x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 é dada por

r = 3,2 , 1 + λ - 2,3 , 1     ,     λ ∈ R

Assinale a alternativa cuja curva não pode ser a curva de nível de f contendo o ponto x 0 , y 0

  1. γ t = t 3 , t 2 + 2 t + 1 ,   t ∈ R
  2. γ t = sin ⁡ t , cos ⁡ t + 1 ,   t ∈ [ 0,2 π ]
  3. γ t = t 5 , t 3 + 2 t ,   t ∈ R
  4. γ t = 2 tan ⁡ t , t ,   t ∈ ] - π / 2 , π / 2 ]
  5. γ t = e t ,   t 2 - 3 ,   t ∈ R

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Suponha que o plano tangente ao gráfico da função diferenciável f   :   R 2 → R no ponto 1,1 ,   f 1,1 , seja dado por

z = x + 2 y - 1

Se a curva

γ t = t 2 ,   t ,   a + b t 3 + c t 6   ,   t > 0

Está no gráfico de f , então

  1. a - c = - 1
  2. a - c = 0
  3. a - c = 1
  4. a - c = 2
  5. a - c = 3

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Seja f   : R 2 → R uma função diferenciável. Suponha que a curva γ t = t 2 ,   t 3   ,   t ∈   R seja uma parametrização da curva de nível f = 8 . Suponha que o plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,1 , f 1,1 contenha o ponto ( 2,2 , 1 ) . Considere os vetores unitários u 1 = ( 1,0 ) e u 2 = 1 5 3,4 . Então ∂ f ∂ u 1 1,1 + ∂ f ∂ u 2 ( 1,1 ) é igual a:

  1. - 112 5
  2. 26 5
  3. 13 5
  4. - 92 5
  5. 105 5

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Listas de Exercícios Resolvidos

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