Seja uma função e seja um ponto. Considere as seguintes afirmações:
- Se e existem, então é contínua em .
- Se é diferenciável em , então e existem.
- Se e existem em e são contínuas em , então é diferenciável em .
- Se existe para todo versor , então é difrenciável em .
Assinale a alternativa correta:
- Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.
- Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
- Apenas as afirmações II, III e IV são verdadeiras.
- Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
- Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
Passo 1
Vamos analisar cada afirmativa. Mas antes, vamos dar uma relembrada nos nossos três teoremas sobre diferenciabilidade:
- Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
- Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
- Se e existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.
E as recíprocas desses teoremas são falsas!
Passo 2
Show, agora sim vamos as análises. Começando pela primeira afirmação:
- Se e existem, então é contínua em .
- Se é diferenciável em , então e existem.
- Se e existem em e são contínuas em , então é diferenciável em .
- Se existe para todo versor , então é difrenciável em .
Bem, a primeira coisa que poderíamos pensar aqui é: derivadas parcias existem, então é diferenciável, então é contínua.
Maaaas, no nosso terceiro teorema, temos um “Q” a mais: para a função ser diferenciável (e aí sim contínua), ela precisa não só que as derivadas parciais existam, mas também que sejam contínuas!
Portanto, essa afirmativa é falsa.
Passo 3
Segunda afirmação:
Essa daí nem precisamos pensar muito, é só lembrar dos teoremas, porque ela tá dita de cara no segundo teorema né?! Então, verdadeira!
Passo 4
Terceira afirmação:
Mesma coisa: é só lembrar dos teoremas. Ela é exatamente o que diz no terceiro teorema. Verdadeira.
Passo 5
Última afirmação:
Quando aprendemos sobre derivadas direcionais, a gente aprendeu que ela podia ser calculada por uma fórmula de produto escalar e por uma definição. E que se a gente calculasse dos dois jeitos e encontrasse resultados diferentes, era porque a função não era diferenciável, e aí valia o resultado calculado pela definição.
Com isso, mesmo que a função não seja diferenciável, nós conseguimos calcular a derivada direcional pela definição de derivada direcional. Portanto, essa afirmativa é falsa.