Suponha que o plano tangente ao gráfico da função diferenciável no ponto , seja dado por
Se a curva
Está no gráfico de , então
Passo 1
Dizer que a curva está no gráfico de significa dizer que a função pega e e retorna , assim
Passo 2
A outra informação que a questão nos dá é a respeito do plano tangente ao gráfico de no ponto :
E a expressão genérica do plano tangente é
No ponto temos
Agora, comparando as duas expressões do plano tangente temos que
Ótimo, então descobrimos o gradiente de e o valor de :
Vamos guardar isso porque ainda não sei pra que vou usar, mas sei que essa era a conclusão que eu deveria tirar da informação do plano tangente que a questão deu.
Passo 3
Dito isso, voltemos a primeira informação:
Como a gente pode relacionar isso com vetor gradiente de e ?
Se a gente tentar derivar dos dois lados, vamos cair em algo com vetor gradiente, então vamos tentar:
Derivando em ambos os lados em relação a e usando a regra da cadeia pra derivar o lado esquerdo, temos
Uhhul, relacionamos gradiente com a primeira informação da curva!
Passo 4
Mas, acontece que temos o vetor gradiente de no ponto e não num ponto genérico, como achamos no passo anterior.
Vamos então substituir o ponto na relação que achamos. Pra isso, precisamos antes descobrir quanto vale quando ?
Assim
Passo 5
Agora sim, vamos substituir:
Do passo 2:
Fazendo esse produto escalar:
Tá, mas como que isso me ajuda a encontrar o ??
É porque ainda precisamos substituir em
Assim
Aeeeeeeee, agora usamos o também.
Passo 6
Juntando as duas equações com temos o sistema
Isolando na primeira equação:
E substituindo na segunda equação:
Então