Seja uma função diferenciável. Suponha que a curva seja uma parametrização da curva de nível . Suponha que o plano tangente ao gráfico de no ponto contenha o ponto . Considere os vetores unitários e . Então é igual a:
Passo 1
Nosso objetivo é calcular as derivadas direcionais de no ponto nas direções do vetor e , para descobrir quanto vale a soma delas duas.
Como a função é diferenciável, as derivadas direcionais são calculadas por
Então, a nossa incógnita da questão é o vetor gradiente de no ponto .
Passo 2
Vamos analisar as informações que a questão deu pra gente.
A primeira diz que a curva é parametrização da curva de nível 8 da função. Curva de nível é
Com e sendo os pontos da curva de nível.
Se fizermos , então
Ok, não sei pra que vou usar isso ainda, mas vamos guardar essa informação com carinho.
Passo 3
Agora vamos tentar pensar como podemos achar o vetor gradiente de .
Sabemos que
E como a curva é uma curva de nível de , isso significa que as componentes e da curva tem que satisfazer a nossa função também. Isso significa que se
Usando a regra da cadeia, vamos ter
E a derivada de a gente consegue calcular, porque temos a expressão de :
Assim, vamos ter
Mas, a gente sabe também que
Porque estamos pensando na curva de nível 8 da função . Assim, se
Então, temos
Passo 4
Agora vamos substituir no ponto , porque é justamente nele que queremos descobrir e . Mas, pra isso a gente precisa saber qual o valor de que corresponde a esse ponto.
Vamos igualar o ponto a
Assim,
Agora sim, substituindo e o correspondente a ele, ficamos com
Passo 5
Beleza, mas isso é uma relação entre as derivadas parciais, ainda não sabemos o valor delas.
Agora que vamos analisar a segunda informação que a questão nos deu: o plano tangente ao gráfico de no ponto contém o ponto .
Isso significa que esse ponto deve satisfazer a equação do plano tangente, que é
Ai caceta, de onde saiu esse ?
Relaxa, é só a superfície que é gráfico da função . Assim, podemos dizer que
Assim, o gradiente de será
No ponto de tangencia:
Passo 6
Ótimo, voltando então a equação do plano tangente no ponto :
E, como dissemos antes, o ponto deve satisfazer essa equação. Assim
E temos então outra relação entre as derivadas parciais.
Passo 7
Juntando as duas relações, formamos o sistema:
Substituindo a primeira na segunda:
E assim
Portanto, o gradiente que tanto queríamos descobrir é
Passo 8
Show, mas a questão ainda não acabou
Ainda precisamos calcular as derivadas direcionais:
Assim