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P3 de Cálculo 2 da USP - 2015

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Cálculo 2 - USP

Seja S a superfície de equação x 2 - 2 x y - 2 y + z 2 = 1 e seja γ :   R → R 3 uma curva diferenciável cuja imagem está contida em S , tal que γ 2 = 2 ,   2 ,   3 e γ ' 2 ≠ 0 ,   0 ,   0 .

Considere ainda uma função g : R 3 → R de classe C 1 com ∇ g 2 ,   2 ,   3 = 4 ,   0 ,   - 4 .

Sabendo que t 0 = 2 é ponto de mínimo da função ϕ t = g γ t , determine uma equação para a reta tangente à trajetória (imagem) de γ em γ 2 .

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Determine os pontos críticos da função f x , y = x 4 + y 4 - 2 x 2 + 4 x y - 2 y 2 e classifique-os, justificando, quanto a máximo local, mínimo local ou sela.

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Deseja-se encontrar os pontos de máximo e mínimo de f x , y = x 1 4 y 3 4 sobre o conjunto K = x , y ∈ R 2 : 5 x + 3 y ≤ 10 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 .

  1. O problema tem solução? Justifique.
  2. Em caso afirmativo, determine tais pontos.
  3. A função f acima tem ponto de máximo sobre o conjunto D = x , y ∈ R 2 : 5 x + 3 y ≤ 10 ,   x > 0 ,   y > 0 ? E de mínimo? Justifique suas respostas.

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Determine, caso existam, os pontos de máximo e mínimo da função f x , y , z = 2 x 2 - y 2 - z 2 sobre o conjunto D = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 5   e   x + z = 2 .

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