Seja a superfície de equação e seja uma curva diferenciável cuja imagem está contida em , tal que e .
Considere ainda uma função de classe com .
Sabendo que é ponto de mínimo da função , determine uma equação para a reta tangente à trajetória (imagem) de em .
Passo 1
Eita, é muita informação de uma vez só. Mas vamos lá, queremos uma equação para a reta tangente à imagem da curva em .
Então temos que achar um vetor tangente à curva nesse ponto, ou seja, um vetor na direção de .
Passo 2
A primeira informação que temos é que está contida na superfície .
Mas como é sempre melhor lidar com funções, vamos fazer o seguinte:
E aí definimos a função
Assim, é a superfície de nível 0 da função .
Passo 3
Agora podemos aproveitar as propriedades do vetor gradiente!
Assim como pra funções de 2 variáveis o vetor gradiente é perpendicular às curvas de nível, pra funções de 3 variáveis ele é perpendicular às superfícies de nível.
No caso, o ponto pertence à , que é uma superfície de nível de , então temos que é perpendicular a . Tranquilo?
Passo 4
Ou seja, temos
Opa opa! Queremos um vetor na direção de né? E das informações listadas aqui em cima podemos concluir que
Passo 5
E esse gradiente nós calculamos tranquilamente:
Portanto,
Passo 6
Prosseguindo com o que o enunciado nos deu, vejamos...” é ponto de mínimo da função ”, e .
Num ponto de mínimo a derivada se anula, então
E, pela regra da cadeia, temos
Lembrando que , isso significa que
Passo 7
Recapitulando:
- queremos um vetor na direção de
Agora ficou fácil né?
Os vetores e não são múltiplos (eles são LI), então o vetor resultante do produto vetorial entre eles deve ser paralelo ao vetor .
Passo 8
E temos
Portanto, o vetor é paralelo ao vetor e ele é um vetor diretor da reta tangente que procuramos. Então uma equação dessa reta é