Determine, caso existam, os pontos de máximo e mínimo da função sobre o conjunto .
Passo 1
A primeira coisa a fazer é sempre justificar que o problema tem solução. (Isso se ele tiver né, mas duvido que façam uma questão dessas que o problema não tenha solução hahaha)
O conjunto é o pedaço do plano que está dentro da esfera , portanto ele é fechado e limitado. Além disso, é contínua sobre .
Então, pelo teorema de Weierstrass tem ponto de mínimo e de máximo sobre .
Passo 2
Passadas as formalidades, chegou a hora de botar a mão na massa.
Deu pra identificar que esse é um problema de multiplicadores de Lagrange com 2 restrições? Então vamos dar nome aos bois! Isto é, definir uma e uma .
Começando pela esfera (atenção, vamos pegar só a esfera, ou seja, a casca, depois nos preocupamos com o interior dela):
Jogando tudo pra esquerda:
Chamamos o lado esquerdo de :
Ou seja, agora temos uma restrição “lagrangeana” do tipo .
Passo 3
Façamos o mesmo com plano:
Assim obtemos a segunda restrição, .
Passo 4
Agora vamos calcular os gradientes de e :
Passo 5
Beleza, então a equação dos multiplicadores de Lagrange é:
Acrescentando as equações das restrições, caímos no sistema:
Passo 6
O determinante é igual a:
Então o sistema ficou:
Passo 7
Pela equação :
- caso 1:
- se , então
- se , então
Pela equação , temos . Substituindo na segunda equação, isso dá
Passo 8
Resolvendo a equação do 2º grau:
E como :
Então pro caso 1 obtemos os pontos e .
Passo 8
- caso 2:
Pela equação obtemos
Substituindo na equação :
Beleza, então aqui achamos dois pontos: e .
Passo 9
Vou dar uma resumida rápida no que fizemos até agora, tranquilo?
Nós usamos os multiplicadores de Lagrange pra procurar candidatos a ponto de máximo e mínimo de na fronteira do conjunto , que é delimitada pela interseção da esfera com o plano .
Achamos 4 pontos: e .
Mas ainda falta procurar pontos no interior de , que é o pedaço do plano dentro da esfera , ou seja, que satisfaz .
Então nesse caso o que vamos fazer é aplicar Lagrange pra com só uma restrição . Depois basta pegar os eventuais pontos que acharmos e testar se eles estão dentro da esfera. Se tiver algum a gente guarda ele.
Show de bola?? Então simbora.
Passo 10
A nossa restrição agora é só a do plano:
Felizmente vamos aproveitar um monte de conta que a gente fez lá atrás. Lembrando:
Então agora o nosso sistema de Lagrange é:
Passo 11
O determinante é:
Podemos ver que
E que
E como , temos
Então achamos o ponto .
Passo 12
Vamos testar se esse ponto está dentro da esfera. Pra isso ele tem que satisfazer
Temos
Opa, então o ponto não está dentro da esfera, então ele não pertence ao conjunto .
Ou seja, podemos descartar esse ponto sem nenhum pudor! Adeus! :)
Passo 13
Sobraram só os 4 pontos que achamos antes:
Agora chegou a hora do “paredão”, vamos calcular o valor da função em cada ponto e descobrir quais são os pontos de máximo e de mínimo. Os pontos vencedores terão a honra de aparecer lá embaixo no quadro de Resposta enquanto os perdedores vão ser mandados pra casa.
Lembrando que :
Concluímos que o ponto de máximo é e os pontos de mínimo são e . Afinal o único ponto forever alone que não foi premiado é o ponto .
Resposta
Ponto de máximo:
Pontos de mínimo: e