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P1 de Cálculo 3 da UFRJ - 2017.2

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Cálculo 3 - UFRJ

1) A integral de f x ,   y = 5 / ( x 2 y )   na região definida por 2 < ln ⁡ x y < 3 e 1 < 1 / x < 2 é igual a

  1. 5
  2. 6
  3. - 6
  4. - 5
  5. 1

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(2) Encontre o módulo do Jacobiano J u ,   v = ∂ x ,   y / ∂ u ,   v na mudança de variáveis u = x 2 - y 2 , v = x + y .

  1. 1 2 v
  2. 2 v
  3. 2 u + 2 v
  4. 1 2 u + 2 v
  5. u 2 - v 2

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(5) A integral do campo vetorial x y 2 + 1   ,   x 2 y + 5 x ao longo da curva t ,   1 - t 2 , - 1 < t < 1 , é igual a

  1. - 14 / 3
  2. 4 / 5
  3. 14 / 3
  4. 20 / 3
  5. - 2

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(6) A integral da função escalar f x ,   y = x 2 ao longo da curva parametrizada por

e sin ⁡ t - 1 ,   e sin ⁡ t - 1 ,       0 < t < π / 2 ,

é igual a

  1. 1 3 e - 1 3 ⋅ 2
  2. 0
  3. 1 3 e - 1 2
  4. 1 3
  5. 2

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(4) Seja R a região contida no primeiro quadrante do plano, limitada pela curva x 2 + y 2 = 9 , pela reta y = 3 x e pela reta x = 0 . Marque a opção que representa a integral ∬ R     x   d x d y após mudar para coordenadas polares.

  1. ∫ π / 3   π / 2   ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ
  2. ∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ
  3. ∫ π / 3 π / 2 ∫ 0 3   r cos ⁡ θ d r d θ
  4. ∫ π / 6   π / 2 ∫ 0 3   r cos ⁡ θ d r d θ
  5. ∫ 0 π / 3 ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ

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(3) Encontre os limites de integração para a variável x após a mudança de ordem de integração na integral

∫ 0 1 ∫ x 3 x f x ,   y   d y d x

  1. y 2 < x < y 3
  2. y 3 < x < y
  3. y 3 < x < y 2
  4. y < x < y 3
  5. y 2 < x < y 3

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(7) A descrição do cilindro x 2 + y 2 = 1 , entre os planos z = 0 e z = 1 , em coordenadas esféricas ρ ,   θ ,   ϕ , é dada por:

  1. ρ sin ⁡ ϕ = 1 ,               π / 4 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  2. ρ sin ⁡ ϕ = 1 ,           -   π / 2 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  3. ρ sin ⁡ ϕ ≤ 1 ,               π / 4 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  4. ρ sin ⁡ ϕ = 1 ,               0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π
  5. ρ sin ⁡ ϕ ≤ 1 ,               0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,                   0 ≤ θ ≤ 2 π

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Questão um: utilizando o teorema de Green, calcular o valor da integral de linha do campo vetorial F → = 8 x ,   e y 2 - 3 y + 2 x 2 sobre o contorno aberto A B C D , definido na Fig. 1 , com ponto inicial A 1 ,   - 1 e ponto final D 0.5 ,   - 1 .

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(8) O volume do sólido limitado pelas superfícies z = 0 , z = x 2 + y 2 , x = y 2   e x = 2 - y 2 , é dado por:

  1. ∫ - 1 1 ∫ y 2 2 - y 2 ∫ 0 x 2 + y 2 d z d x d y
  2. ∫ - 1 1 ∫ 2 - y 2 y 2 ∫ 0 x 2 + y 2 d z d x d y
  3. ∫ - 1 1 ∫ x 2 - x ∫ 0 x 2 + y 2 d z d x d y
  4. ∫ - 1 1 ∫ 2 - y 2 y 2 ∫ 0 y 4 + y 2 d z d x d y
  5. ∫ - 1 1 ∫ y 2 2 - y 2 ∫ 0 y 4 + y 2 d z d x d y

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Questão dois: calcule o volume do sólido interior à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e exterior aos cones z 2 = x 2 + y 2 e x 2 = 3 y 2 + z 2 .

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Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2010.2P1 - 2011.1P2 - 2011.2P1 - 2013.1P1 - 2015.1PF - 2014.1P1 - 2015.2P1 - 2017.1PF - 2017.1P2 - 2022.2