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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Exercício 161234567891011121314151718192021222324252627282930313233343536373839404142434445

Enunciado

(5) A integral do campo vetorial x y 2 + 1   ,   x 2 y + 5 x ao longo da curva t ,   1 - t 2 , - 1 < t < 1 , é igual a

  1. - 14 / 3
  2. 4 / 5
  3. 14 / 3
  4. 20 / 3
  5. - 2

Passo 1

Bem, antes começarmos a mexermos com a matemática da coisa, queremos uma integral de linha de um campo que vamos chamar de F → x ,   y = x y 2 + 1   ,   x 2 y + 5 x , em cima de uma curva que vamos chamar de C . Logo o que queremos é:

∫ C   F → x ,   y d r →

Para resolver integrais de linha do modo direto como nos é pedido aqui nesse problema, sempre vamos seguir os três passinhos aqui:

  1. Parametrizar a curva
  2. Trocar os termos da função pelos da parametrização
  3. Encontrar o termo d s

Bora?! :D

Passo 2

A curva que estamos trabalhando, para a nossa alegria, já está parametrizada

γ t = t ,   1 - t 2

e dela tiramos:

x = t

y = 1 - t 2

Sendo assim, a nossa primeira função aqui é justamente mudar a função F → x ,   y = x y 2 + 1   ,   x 2 y + 5 x para os termos dessa parametrização (basta trocar esse x e y aí)

F → x ,   y = x y 2 + 1   ,   x 2 y + 5 x           →

F → γ t = t 1 - t 2 2 + 1 ,   t 2 1 - t 2 + 5 t   →

F → γ t = t 1 - 2 t 2 + t 4 + 1 ,   t 2 1 - t 2 + 5 t   →

F → γ t = t - 2 t 3 + t 5 + 1 ,   t 2 - t 4 + 5 t  

Passo 3

Devemos agora encontrar o termo d s fazendo

d r → = γ ' t d t

Calculando a derivada da parametrização   γ t = t ,   1 - t 2 ...

γ ' t = 1 ,   - 2 t

d r → = 1 ,   - 2 t d t

Passo 4

Agora basta que peguemos os três ingredientes anteriormente encontrados e substituirmos na integral...

∫ C   F → x ,   y d r →

O C será substituído pela variação do parâmetro:

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ - 1 1 t - 2 t 3 + t 5 + 1 ,   t 2 - t 4 + 5 t ∙ 1 ,   - 2 t d t

Calculando esse produto escalar de vetores:

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ - 1 1 t - 2 t 3 + t 5 + 1 - 2 t   t 2 - t 4 + 5 t d t =

∫ - 1 1 t - 2 t 3 + t 5 + 1 - 2 t 3 + 2 t 5 - 10 t 2 d t =

∫ - 1 1 1 + t - 10 t 2 - 4 t 3 + 3 t 5 d t

Agora basta que calculemos esta integral simples que apareceu!

∫ - 1 1 1 + t - 10 t 2 - 4 t 3 + 3 t 5 d t =

t + t 2 2 - 10 t 3 3 - 4 t 4 4 + 3 t 6 6 - 1 1 =

1 + 1 2 - 10 3 - 4 4 + 3 6 - - 1 + 1 2 + 10 3 - 4 4 + 3 6 =

1 + 1 2 - 10 3 - 4 4 + 3 6 + 1 - 1 2 - 10 3 + 4 4 - 3 6 =

2 - 20 3 = - 14 / 3

Resposta

a ) - 14 / 3

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