( d ) Determine se a série

∑ n n 2 + 1

é convergente ou divergente explicitando o teste utilizado.

Passo 1

Primeiro vamos definir

a n = n n 2 + 1

b n = 1 n 3 / 2

Assim, observamos que

lim n → ∞ ⁡ b n a n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 3 / 2 . n 2 + 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 n 2 = 1

Repare que aqui não faz diferença se a gente usar b n a n ou a n b n , o resultado vai ser o mesmo. Porque o que importa pra gente é que o resultado seja um número, para que o Teste da Comparação no Limite funcione.

Passo 2

A série ∑ b n é convergente, pois é uma p-série com p = 3 / 2   > 1 .

Assim, pelo Teste da Comparação no Limite, concluímos que a série ∑ a n também é convergente.

Resposta

Convergente; Teste da Comparação no Limite.

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Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n