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Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Soluções de EDO – ponto singular

( a ) Justifique porque x 0 = 0 não é um ponto ordinário para a equação

x x - 1 y ' ' + 2 x y ' - 1 2 y = 0

( b ) Mesmo assim, sem calcular, justifique por que ela possui uma solução em série de potências

∑ n = 0 ∞ a n x n

e estime o raio de convergência de uma série destas. Calcule uma solução destas, determinando os coeficientes a n pelo menos para n ≤ 3 .

( c ) Dê a forma de uma segunda solução linearmente independente da solução mencionada no item a), num intervalo aberto contendo x 0 = 0 . (Não precisa calcular esta segunda solução. Apenas dê a forma. Não se esqueça de justificar.)

Passo 1

Bom, o primeiro passo aqui é olhar pra equação e identificar que

P x = x x - 1

Q x = 2 x

R x = - 1 2

Mas como P x = 0 → x = 0   o u   x = 1 , vemos que x 0 = 0 não é um ponto ordinário e, sim, um ponto singular.

Passo 2

( b ) Vamos ver se ele é singular regular, agora?

Então, façamos assim:

x Q x P x = x 2 x x x - 1 = 2 x x - 1

x 2 R x P x = x 2 - 1 2 x x - 1 = - 1 2 x x - 1

Ambas as funções são analíticas em x 0 = 0 e tem lim x → 0 ⁡ ( . ) bem definidos. Logo, x 0 = 0 é de fato um ponto singular regular. Portanto, podemos aplicar o Método de Frobenius.

Pelo Teorema de Frobenius, esta equação possui uma solução na forma

y 1 = x r 1   ∑ n = 0 ∞ a n x n

ao redor de x 0 = 0 .

Passo 3

A equação indicial pode ser obtida por

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

onde

p 0 = lim x → 0 ⁡   x Q x P x = lim x → 0 ⁡   2 x x - 1 = 0

q 0 = lim x → 0 ⁡   x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡   - 1 2 x x - 1 = 0

Logo, obtemos

r ( r - 1 ) = 0

r 1 = 1 ,     r 2 = 0

Passo 4

Tomando uma série de potências com r 1 = 1 , temos, para x > 0 :

y 1 =   x ∑ n = 0 ∞ a n x n

y 1 =   ∑ n = 1 ∞ c n x n

Desta forma,

y 1 ' = ∑ n = 1 ∞ c n   n x n - 1

y 1 ' ' = ∑ n = 2 ∞ c n   n ( n - 1 ) x n - 2

Passo 5

Vamos, agora, introduzir as fórmulas na equação:

x x - 1 y ' ' + 2 x y ' - 1 2 y = 0

x 2 - x y ' ' + 2 x y ' - 1 2 y = 0

x 2 - x ∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n - 2 + 2 x ∑ n = 1 ∞ c n   n x n - 1 - 1 2 ∑ n = 1 ∞ c n   x n = 0

Assim, vamos colocar todos os x e coeficientes para dentro dos somatórios.

∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n - ∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 c n   n x n - ∑ n = 0 ∞ 1 2 c n   x n = 0

Passo 6

E vamos deixar sempre x n dentro. Para isso, necessitamos fazer um deslocamento no índice do segundo somatório.

∑ n = 2 ∞ c n   n ( n - 1 ) x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ c n + 1   n ( n + 1 ) x n

Logo:

∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n - ∑ n = 1 ∞ c n + 1   n ( n + 1 ) x n + ∑ n = 1 ∞ 2 c n   n x n - ∑ n = 0 ∞ 1 2 c n   x n = 0

Passo 7

Agora, vamos deixar todos os somatórios a partir do maior valor inicial de n   ( n = 2 ), tirando os termos que sobram do somatório:

∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n :       O k !   = )

∑ n = 1 ∞ c n + 1   n ( n + 1 ) x n = c 2 . 1.2 . x + ∑ n = 2 ∞ c n + 1   n ( n + 1 ) x n

∑ n = 1 ∞ 2 c n   n x n = 2 . c 1 . 1 . x + ∑ n = 2 ∞ 2 c n   n x n

∑ n = 0 ∞ 1 2 c n   x n = 1 2 c 0 + 1 2 c 1 . x + ∑ n = 2 ∞ 1 2 c n   x n

Assim, fica:

∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 x n - c 2 . 1.2 . x + ∑ n = 2 ∞ c n + 1   n n + 1 x n + 2 . c 1 . 1 . x + ∑ n = 2 ∞ 2 c n   n x n - 1 2 c 0 + 1 2 c 1 . x + ∑ n = 2 ∞ 1 2 c n   x n = 0

E podemos juntar os somatórios:

- 2 c 2 x + 2 c 1 x - 1 2 c 0 - 1 2 c 1 x + ∑ n = 2 ∞ c n   n n - 1 - c n + 1   n n + 1 + 2 c n   n - 1 2 c n x n

Passo 8

Reescrevendo os termos fora do somatório que contém x :

- 2 c 2 x + 2 c 1 x - 1 2 c 1 x = 0

- 2 c 2 + 2 c 1 - 1 2 c 1 x = 0

- 2 c 2 + 2 c 1 - 1 2 c 1 = 0

c 2 = 3 4 c 1

Passo 9

Agora, para obter a relação de recorrência, temos:

c n   n n - 1 - c n + 1   n n + 1 + 2 c n   n - 1 2 c n = 0

c n + 1   n n + 1 =   n n - 1 + 2   n - 1 2 c n

c n + 1 = n 2 + n - 1 2 n ( n + 1 ) c n

para n ≥ 1 .

Assim, como já temos c 1 (arbitrário) e c 2 , calculemos c 3 :

c 3 = 2 2 + 2 - 1 2 2.3 c 2

c 3 = 11 12 c 2

c 3 = 11 12 . 3 4 c 1 = 11 16 c 1

Passo 10

Para o raio de convergência, notemos as funções x Q x P x e x 2 R x P x : elas são racionais e tem 1 como raiz de seus denominadores. Como a série está centrada em x 0 = 0 , temos que o raio de convergência de y 1 é, pelo menos, 1 .

Passo 11

( c ) Como x 0 = 0 é um ponto singular regular com a equação indicial fornecendo raízes r 1 = 1 e r 2 = 0 e elas diferem de um número natural (e inteiro), o Teorema de Frobenius garante que a segunda solução L I é da forma

y 2 = a y 1 ln ⁡ x + x r 2 1 + ∑ n = 1 ∞ c n x n

y 2 = a y 1 ln ⁡ x + 1 + ∑ n = 1 ∞ c n x n

Resposta

( b ) y 1 =   ∑ n = 1 ∞ c n x n ; { c 1 , c 2 = 3 4 c 1 , c 3 = 11 16 c 1 ,   … } ; R ≥ 1 .

( c ) y 2 = a y 1 ln ⁡ x + 1 + ∑ n = 1 ∞ c n x n

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